Question

已知函數(shù)f（x）=

x

1+x2

是定義在（-1，1）上的函數(shù)．
（Ⅰ）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性（不需證明）；
（Ⅱ）用定義法證明函數(shù)f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)；
（Ⅲ）解不等式f（x-1）+f（x）＜0．

Answer 1

考點：奇偶性與單調(diào)性的綜合,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）根據(jù)定義法證明函數(shù)f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)；
（Ⅲ）根據(jù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可．

解答： 解：（Ⅰ）f（-x）=-

x

1+x2

=-f（x），則f（x）為奇函數(shù)．
（Ⅱ）證明：對于任意的x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，

f(x1)-f(x2)= x1 1+ x 2 1 - x2 1+ x 2 2 = x1(1+ x 2 2 )-x2(1+ x 2 1 ) (1+ x 2 1 )(1+ x 2 2 ) = (x1-x2)+x1x2(x2-x1) (1+ x 2 1 )(1+ x 2 2 ) = (x1-x2)(1-x1x2) (1+ x 2 1 )(1+ x 2 2 )

，
∵-1＜x₁＜x₂＜1，∴x1-x2＜0，(1+

x

2 1

)(1+

x

2 2

)＞0，
∴x₁x₂＜1，∴1-x₁x₂＞0．
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴函數(shù)f(x)=

x

1+x2

在（-1，1）上是增函數(shù)．…（7分）
（Ⅱ）由已知及（Ⅰ）知，f（x）是奇函數(shù)且在（-1，1）上遞增，

f(x-1)+f(x)＜0?f(x-1)＜-f(x)?f(x-1)＜f(-x) ? -1＜x-1＜1 -1＜x＜1 x-1＜-x ? 0＜x＜2 -1＜x＜1 x＜ 1 2 ?0＜x＜ 1 2

…（11分）
∴不等式的解集為(0，

1

2

)．…（12分）

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷和應(yīng)用，利用定義法是解決本題的關(guān)鍵．