Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-|x|+2a-1 （a為實常數(shù)）．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性并給出證明；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）若a＞0，設(shè)g（x）=|f（x）-x|在區(qū)間[-2，2]上的最大值為h（a），求h（a）的表達式．

Answer 1

考點：帶絕對值的函數(shù),函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）確定定義域為R，且滿足f（-x）=f（x），可得結(jié)論；
（2）分類討論，結(jié)合函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）當x∈[-2，2]時，g（x）=|f（x）-x|=

|ax2+2a-1|，-2≤x≤0 |ax2-2x+2a-1|，0＜x≤2

，對a討論，確定最大值h（a），即可求h（a）的表達式．

解答： 解：（1）對于函數(shù)f（x）=ax²-|x|+2a-1，它的定義域為R，且滿足f（-x）=f（x），
故函數(shù)為偶函數(shù)．
（2）當a=0時，在區(qū)間[1，2]上，f（x）=-|x|-1=-x-1，不滿足在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)，故a≠0．
在區(qū)間[1，2]上，函數(shù)f（x）=ax²-x+2a-1的圖象對稱軸方程為x=

1

2a

，
根據(jù)函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)，
可得 

a＞0 1 2a ≤1

 ①，或

a＜0 1 2a ≥2

②，求得a≥

1

2

．
（3）當x∈[-2，2]時，g（x）=|f（x）-x|=

|ax2+2a-1|，-2≤x≤0 |ax2-2x+2a-1|，0＜x≤2

，
①0＜a≤

1

2

，即

1

a

≥2，h（a）=max

|6a-1| |2a-1| |6a-5|

=6a-5；
②a＞

1

2

，即0＜

1

a

＜2，h（a）=max

|6a-1| |2a-1| |6a-5| |2a- 1 a -1|

=6a-1
∴h（a）=

6a-5，0＜a≤ 1 2 6a-1，a＞ 1 2

．

點評：本題考查函數(shù)奇偶性的判斷，考查函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)，考查帶絕對值的函數(shù)，考查分類討論的數(shù)學思想，考查學生分析解決問題的能力，有難度．