Question

15．已知函數(shù)f（x）是定義在[a-1，2a]上的偶函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）單調(diào)遞增，則關(guān)于x的不等式f（x-1）＞f（a）的解集為[$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$）∪（$\frac{4}{3}$，$\frac{5}{3}$]．

Answer 1

分析 根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)求得a的值，再根據(jù)當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）單調(diào)遞增，可得函數(shù)f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，故由不等式可得$\left\{\begin{array}{l}{x-1＜-a或x-1＞a}\\{-\frac{2}{3}≤x-1≤\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，由此求得x的范圍．

解答 解：∵函數(shù)f（x）是定義在[a-1，2a]上的偶函數(shù)，
∴a-1+2a=0，求得a=$\frac{1}{3}$，故函數(shù)的定義域?yàn)閇-$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$]．
∵當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）單調(diào)遞增，故函數(shù)f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減．
由關(guān)于x的不等式f（x-1）＞f（a），可得$\left\{\begin{array}{l}{x-1＜-a或x-1＞a}\\{-\frac{2}{3}≤x-1≤\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，求得$\frac{1}{3}$≤x＜$\frac{2}{3}$，或$\frac{4}{3}$＜x≤$\frac{5}{3}$，
故不等式f（x-1）＞f（a）的解集為[$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$）∪（$\frac{4}{3}$，$\frac{5}{3}$]，
故答案為：[$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$）∪（$\frac{4}{3}$，$\frac{5}{3}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的定義域，函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，屬于中檔題．