Question

20．先觀察不等式（a${\;}_{1}^{2}$+a${\;}_{2}^{2}$）（b${\;}_{1}^{2}$+b${\;}_{2}^{2}$）≥（a₁b₁+a₂b₂）²（a₁、a₂、b₁、b₂∈R）的證明過程：設(shè)平面向量$\overrightarrow{α}$=（a₁，b₁），$\overrightarrow{β}$=（a₂，b₂），則|$\overrightarrow{α}$|=$\sqrt{{a}_{1}^{2}+_{1}^{2}}$，|$\overrightarrow{β}$|=$\sqrt{{a}_{2}^{2}+_{2}^{2}}$，$\overrightarrow{α}$•$\overrightarrow{β}$=a₁a₂+b₁b₂．
∵|$\overrightarrow{α}$•$\overrightarrow{β}$|≤|$\overrightarrow{α}$|•|$\overrightarrow{β}$|，
∴|a₁a₂+b₁b₂|≤$\sqrt{{a}_{1}^{2}{+b}_{1}^{2}}$•$\sqrt{{a}_{2}^{2}+_{2}^{2}}$，
∴（a₁a₂+b₁b₂）²≤（a${\;}_{1}^{2}$+b${\;}_{1}^{2}$）（a${\;}_{2}^{2}$+b${\;}_{2}^{2}$），
再類比證明：（a${\;}_{1}^{2}$+b${\;}_{1}^{2}$+c${\;}_{1}^{2}$）（a${\;}_{2}^{2}$+b${\;}_{2}^{2}$+c${\;}_{2}^{2}$）≥（a₁a₂+b₁b₂+c₁c₂）²．

Answer 1

分析 利用類比的方法，結(jié)合向量的運(yùn)算，即可證明結(jié)論．

解答 解：設(shè)空間向量$\overrightarrow{α}$=（a₁，b₁，c₁），$\overrightarrow{β}$=（a₂，b₂，c₂），則|$\overrightarrow{α}$|²=a${\;}_{1}^{2}$+b${\;}_{1}^{2}$+c${\;}_{1}^{2}$，|$\overrightarrow{β}$|²=a${\;}_{2}^{2}$+b${\;}_{2}^{2}$+c${\;}_{2}^{2}$，
$\overrightarrow{α}$•$\overrightarrow{β}$=a₁a₂+b₁b₂+c₁c₂，
∵|$\overrightarrow{α}$•β|≤|$\overrightarrow{α}$|•|$\overrightarrow{β}$|，
∴|a₁a₂+b₁b₂+c₁c₂|²≤（a${\;}_{1}^{2}$+b${\;}_{1}^{2}$+c${\;}_{1}^{2}$）（a${\;}_{2}^{2}$+b${\;}_{2}^{2}$+c${\;}_{2}^{2}$）
∴（a${\;}_{1}^{2}$+b${\;}_{1}^{2}$+c${\;}_{1}^{2}$）（a${\;}_{2}^{2}$+b${\;}_{2}^{2}$+c${\;}_{2}^{2}$）≥（a₁a₂+b₁b₂+c₁c₂）²．

點(diǎn)評 本題是中檔題，考查不等式的證明與應(yīng)用，考查的閱讀能力，知識(shí)的應(yīng)用能力，邏輯推理能力．