Question

20．已知數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=3a_n+2（n∈N^*），且a₁=2．
（1）求證：數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用數(shù)列的遞推關(guān)系式，兩邊同除以a_n+1，即可說新數(shù)列是等比數(shù)列．
（2）利用等比數(shù)列求出通項(xiàng)公式，然后利用數(shù)列求和公式求解即可．

解答 解：（1）證明：∵$\frac{{{a_{n+1}}+1}}{{{a_n}+1}}=\frac{{3{a_n}+3}}{{{a_n}+1}}=3$，a₁+1=3，
∴{a_n+1}是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列．
（2）由（1）可得${a_n}+1={3^n}$，
∴${a_n}={3^n}-1$，${S_n}=\frac{{3（1-{3^n}）}}{1-3}-n=\frac{{{3^{n+1}}-3}}{2}-n$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式以及數(shù)列求和，考查計(jì)算能力．