Question

15．已知函數(shù)y=$\frac{1}{3}{x^3}+{x^2}$+ax-5，若函數(shù)在[1，+∞）上總是單調函數(shù)，則a的取值范圍a≥-3．

Answer 1

分析 求出原函數(shù)的導函數(shù)，由題意可得，y′=x²+2x+a在[1，+∞）上恒大于等于0或恒小于等于0．利用二次函數(shù)的單調性求得y=-x²-2x在[1，+∞）上有最大值-3，無最小值．由此求得a的取值范圍．

解答 解：由y=$\frac{1}{3}{x^3}+{x^2}$+ax-5，得y′=x²+2x+a，
∵函數(shù)在[1，+∞）上總是單調函數(shù)，
∴y′=x²+2x+a在[1，+∞）上恒大于等于0或恒小于等于0．
若x²+2x+a≥0在[1，+∞）上恒成立，則a≥-x²-2x在[1，+∞）上恒成立，
若x²+2x+a≤0在[1，+∞）上恒成立，則a≤-x²-2x在[1，+∞）上恒成立，
∵函數(shù)y=-x²-2x的對稱軸方程為x=-1，且開口向下，則y=-x²-2x在[1，+∞）上為單調減函數(shù)，有最大值-3，無最小值．
∴a≥-3．
故答案為：a≥-3．

點評 本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，考查利用分離參數(shù)法求解恒成立問題，是中檔題．