Question

3．設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=-1-log₂（-x）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）設(shè)g（x）=2f（2^x+3）-f（2^x+1），若g（x）≥m恒成立，求實(shí)數(shù)m的最大值．

Answer 1

分析 （1）由奇函數(shù)的定義可得f（-x）=-f（x），f（0）=0，當(dāng)x＞0時(shí)，-x＜0，由條件可得x＞0的解析式，進(jìn)而得到f（x）的解析式；
（2）化簡(jiǎn)g（x）的解析式，再由解不等式可得最小值，由恒成立思想可得m的范圍，進(jìn)而得到最大值．

解答 解：（1）f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，即有f（-x）=-f（x），
f（0）=0，
當(dāng)x＞0時(shí)，-x＜0，f（-x）=-1-log₂x，即有f（x）=1+log₂x．
則f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-1-lo{g}_{2}（-x），x＜0}\\{0，x=0}\\{1+lo{g}_{2}x，x＞0}\end{array}\right.$；
（2）由（1）可得g（x）=2（1+log₂（2^x+3））-（1+log₂（2^x+1））
=1+log₂$\frac{（{2}^{x}+3）^{2}}{{2}^{x}+1}$，
由$\frac{（{2}^{x}+3）^{2}}{{2}^{x}+1}$=（2^x+1）+$\frac{4}{{2}^{x}+1}$+4≥2$\sqrt{（{2}^{x}+1）•\frac{4}{{2}^{x}+1}}$+4=8．
當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，取得等號(hào)．
即有g(shù)（x）的最小值為1+log₂8=4，
由g（x）≥m恒成立可得m≤4，
則m的最大值為4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的奇偶性的運(yùn)用和不等式恒成立問(wèn)題，注意轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，考查基本不等式和對(duì)數(shù)性質(zhì)的運(yùn)用，屬于中檔題．