Question

如圖，已知橢圓的右焦點為，點是橢圓上任意一點，圓是以為直徑的圓．

（1）若圓過原點，求圓的方程；

（2）寫出一個定圓的方程，使得無論點在橢圓的什么位置，該定圓總與圓相切,請寫出你的探究過程．

 

 

Answer 1

（1）或；（2）.

【解析】

試題分析：（1）因為是圓的直徑，所以當(dāng)圓過原點時，一定有，由此可確定點的位置并進(jìn)一步求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)圓M的半徑為,連結(jié)，顯然有

根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程知,

所以，從而找到符合條件的定圓.

【解析】
（1）解法一：因為圓過原點，所以，所以是橢圓的短軸頂點，的坐標(biāo)是或，于是點的坐標(biāo)為或，

易求圓的半徑為

所以圓的方程為或 6分

解法二：設(shè)，因為圓過原點，所以

所以，所以，所以點

于是點的坐標(biāo)為或，易求圓的半徑

所以圓的方程為或 6分

（2）以原點為圓心，5為半徑的定圓始終與圓相內(nèi)切，定圓的方程為 8分

探究過程為：設(shè)圓的半徑為，定圓的半徑為，

因為，

所以當(dāng)原點為定圓圓心，半徑時，定圓始終與圓相內(nèi)切． （13分）

考點：1、橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程；2、圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程.