Question

【題目】如圖1，在邊長為4的正三角形ABC中，D，F(xiàn)分別為AB，AC的中點，E為AD的中點．將△BCD與△AEF分別沿CD，EF同側折起，使得二面角A﹣EF﹣D與二面角B﹣CD﹣E的大小都等于90°，得到如圖2所示的多面體．
（1）在多面體中，求證：A，B，D，E四點共同面；
（2）求多面體的體積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：因為二面角A﹣EF﹣D的大小等于90°，

所以平面AEF⊥平面DEFC，

又AE⊥EF，AE平面AEF，平面AEF∩平面DEFC=EF，

所以AE⊥平面DEFC，

同理，可得BD⊥平面DEFC，

所以AE∥BD，故A，B，D，E四點共同面

（2）解：因為AE⊥平面DEFC，BD⊥平面DEFC，EF∥CD，AE∥BD，DE⊥CD，

所以AE是四棱錐A﹣CDEF的高，點A到平面BCD的距離等于點E到平面BCD，

又 ， ，

所以

【解析】（1）推導出AE⊥平面DEFC，BD⊥平面DEFC，從而AE∥BD，由此能證明A，B，D，E四點共同面．（2）求出AE是四棱錐A﹣CDEF的高，點A到平面BCD的距離等于點E到平面BCD的距離，多面體的體積V=VA﹣CDEF+VA﹣BCD，由此能求出結果．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線與平面垂直的性質的相關知識，掌握垂直于同一個平面的兩條直線平行．