Question

【題目】已知命題p：函數(shù)f（x）=x3+ax2+x在R上是增函數(shù)；命題q：若函數(shù)g（x）=ex﹣x+a在區(qū)間[0，+∞）沒有零點(diǎn)．
（1）如果命題p為真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）命題“p∨q”為真命題，“p∧q”為假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：如果命題p為真命題，

∵函數(shù)f（x）=x3+ax2+x在R上是增函數(shù)，

∴f′（x）=3x2+2ax+1≥0對x∈（﹣∞，+∞）恒成立

∴

（2）解：g′（x）=ex﹣1≥0對任意的x∈[0，+∞）恒成立，

∴g（x）在區(qū)間[0，+∞）遞增

命題q為真命題g（0）=a+1＞0a＞﹣1

由命題“p∨q”為真命題，“p∧q”為假命題知p，q一真一假，

若p真q假，則

若p假q真，則

綜上所述，

【解析】（1）若p為真命題，則在（，）內(nèi)f'（x）0恒成立；（2）利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)g（x）在[0，+∞）內(nèi)的單調(diào)性，若q為真命題，則g（x）min0；由命題“p∨q”為真命題，“p∧q”為假命題知p、q一真一假.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解命題的真假判斷與應(yīng)用的相關(guān)知識(shí)，掌握兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系，以及對利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的理解，了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減．