Question

1．各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知點(diǎn)（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在函數(shù)y=3x的圖象上，且S₃=26．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）在a_n與a_n+1之間插入n個(gè)數(shù)，使這n+2個(gè)數(shù)組成公差為d的等差數(shù)列，求數(shù)列|$\frac{1}{atudbrp_{n}}$|的前n項(xiàng)和T_n，并求使$\frac{8}{5}$T_n+$\frac{n}{5×{3}^{n-1}}$≤$\frac{40}{27}$成立的最大正整數(shù)n．

Answer 1

分析 （1）先利點(diǎn)（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在函數(shù)y=3x的圖象上，且S₃=26，求出q=3，a₁=2，即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)；
（2）先把所求結(jié)論代入求出數(shù)列{T_n}的通項(xiàng)，再利用數(shù)列求和的錯(cuò)位相減法即可求出其各項(xiàng)的和，最后利用不等關(guān)系求解即可．

解答 解：（1）∵點(diǎn)（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在函數(shù)y=3x的圖象上，
∴a_n+1=3a_n，∴公比q=3，
∴S₃=26，∴a₁+3a₁+9a₁=26，解得a₁=2，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=2×3^n-1．
（2）由（1）知a_n=2×3^n-1，a_n+1=2×3ⁿ，
∵在a_n于a_n+1之間插入n個(gè)數(shù)，使這n+2個(gè)數(shù)組成公差為d_n的等差數(shù)列，
∴a_n+1=a_n+（n+1）d_n，
∴d_n=$\frac{4×{3}^{n-1}}{n+1}$，∴$\frac{1}{3otrpda_{n}}$=$\frac{n+1}{4×{3}^{n-1}}$，
∴T_n=$\frac{2}{4×{3}^{0}}$+$\frac{3}{4×3}$+…+$\frac{n+1}{4×{3}^{n-1}}$，①
T_n+1=$\frac{2}{4×3}$+$\frac{3}{4×{3}^{2}}$+…+$\frac{n+1}{4×{3}^{n}}$②
①-②，整理得T_n=$\frac{15}{16}$-$\frac{2n+5}{16×{3}^{n-1}}$．
∴$\frac{8}{5}$T_n+$\frac{n}{5×{3}^{n-1}}$≤$\frac{40}{27}$，即3^n-1≤27，解得n≤4，
∴使得$\frac{8}{5}$T_n+$\frac{n}{5×{3}^{n-1}}$≤$\frac{40}{27}$成立的正整數(shù)n的最大值是4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查數(shù)列求和的錯(cuò)位相減法，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．