Question

1．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，E為CB₁與BC₁的交點(diǎn)．
（1）求證：DE∥平面ACC₁A₁；
（2）求直線BC₁與平面DB₁C所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）利用三角形中位線定理、線面平行的判定定理即可證明；
（2）通過建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面DB₁C的法向量，利用線面夾角公式即可得出．

解答 （1）證明：∵E為CB₁與BC₁的交點(diǎn)，∴E為BC₁的中點(diǎn)，
又點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，即DE為三角形ABC₁的中位線，
∴DE∥AC₁，
又DE?平面ACC₁A₁，
∴DE∥平面AC C₁ A₁，
（2）解：直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，底面三邊長AC=3，BC=4，AB=5，
∵AC²+BC²=AB²，
∴AC⊥BC，而由條件知，AC⊥C₁C，且BC⊥C₁C=C，
以CA．CB．CC₁分別為x，y，z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
∵AC=3，BC=4，AA₁=4，
∴$A（3，0，0），B（0，4，0），C（0，0，0），D（{\frac{3}{2}，2，0}），{B_1}（0，4，4），{C_1}（{0，0，4}）$，
$\overrightarrow{CD}=（{\frac{3}{2}，2，0}），\overrightarrow{C{B_1}}=（{0，4，4}），\overrightarrow{B{C_1}}=（{0，-4，4}）$．
設(shè)平面DB₁C的法向量$\overrightarrow n$=（x₀，y₀，z₀），
則由$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{CD}=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{C{B_1}}=0\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}\frac{3}{2}{x_0}+2{y_0}=0\\ 4{y_0}+4{z_0}=0\end{array}\right.$，
令x₀=4，則y₀=-3，z₀=3，
∴$\overrightarrow n$=（4，-3，3），
又直線BC₁與平面DB₁C所成角θ的正弦值即直線BC₁與平面DB₁C的法向量夾角的余弦值，
∴$sinθ=|{cos＜\overrightarrow n，\overrightarrow{B{C_1}}＞}|=|{\frac{{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{B{C_1}}}}{{|{\overrightarrow n}|•|{\overrightarrow{B{C_1}}}|}}}|=\frac{{3\sqrt{17}}}{17}$，
∴直線BC₁與平面DB₁C所成角的正弦值為$\frac{{3\sqrt{17}}}{17}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直棱柱的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、三角形中位線定理、線面平行的判定定理、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、線面夾角公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．