Question

5．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點為F，A為短軸的一個端點，且|OA|=|OF|=$\sqrt{2}$（其中O為坐標原點）．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若C、D分別是橢圓長軸的左、右端點，動點M滿足MD⊥CD，連結CM交橢圓于點P，試問：x軸上是否存在異于點C的定點Q，使得以MP為直徑的圓經過直線OP、MQ的交點；若存在，求出點Q的坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過|OA|=|OF|=$\sqrt{2}$可得b、c的值，進而可得結論；
（Ⅱ）通過（1）知C（-2，0），D（2，0），設直線CM方程并與橢圓聯(lián)立，利用韋達定理可得點P坐標，利用$\overrightarrow{QM}•\overrightarrow{DP}$=0，計算即得結論．

解答 解：（Ⅰ）∵|OA|=|OF|=$\sqrt{2}$，∴$b=c=\sqrt{2}$，
∴a²=b²+c²=4，
∴橢圓方程為：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$；
（Ⅱ）結論：存在Q（0，0），使得以MP為直徑的圓恒過直線DP、MQ的交點．
理由如下：
由（1）知：C（-2，0），D（2，0）．
由題意可設CM：y=k（x+2），P（x₁，y₁）．
∵MD⊥CD，∴M（2，4k），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1\;\\ y=k（x+2）\end{array}\right.$，消去y，整理得：（1+2k²）x²+8k²x+8k²-4=0，
∴△=（8k²）²-4（1+2k²）（8k²-4）＞0，
∴$-2{x_1}=\frac{{8{k^2}-4}}{{1+2{k^2}}}，即{x_1}=\frac{{2-4{k^2}}}{{1+2{k^2}}}$，
∴${y_1}=k（{x_1}+2）=\frac{4k}{{1+2{k^2}}}$，
∴$點P（\frac{{2-4{k^2}}}{{1+2{k^2}}}，\frac{{4{k^{\;}}}}{{1+2{k^2}}}）$，
設Q（x₀，0），且x₀≠-2，
若以MP為直徑的圓經過DP，MQ的交點，
則MQ⊥DP，∴$\overrightarrow{QM}•\overrightarrow{DP}$=0恒成立，
∵$\overrightarrow{QM}=（2-{x_0}，4k）$，$\overrightarrow{DP}=（\frac{{-8{k^2}}}{{1+2{k^2}}}，\frac{4k}{{1+2{k^2}}}）$，
∴$\overrightarrow{QM}•\overrightarrow{DP}=（2-{x_0}）•\frac{{-8{k^2}}}{{1+2{k^2}}}+4k•\frac{4k}{{1+2{k^2}}}=0$，
即$\frac{{8{k^2}}}{{1+2{k^2}}}{x_0}=0$恒成立，∴x₀=0．
∴存在Q（0，0），使得以MP為直徑的圓恒過直線DP、MQ的交點．

點評 本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，考查求橢圓方程，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于難題．