Question

【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=ax2–a–lnx，g(x)=，其中a∈R，e=2.718…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（1）討論f(x) 的單調(diào)性；

（2）證明：當(dāng)x＞1時(shí)，g(x)＞0；

（3）如果f(x)＞g(x) 在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）

【解析】

試題分析：本題考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，最值、解決恒成立問(wèn)題，考查學(xué)生的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力和計(jì)算能力.第一問(wèn)，對(duì)求導(dǎo)，對(duì)a進(jìn)行討論，判斷函數(shù)的單調(diào)性；第二問(wèn)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，判斷最值，證明結(jié)論，第三問(wèn)，構(gòu)造函數(shù)= （），利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值，從而證明結(jié)論.

試題解析：（Ⅰ）

＜0，在內(nèi)單調(diào)遞減.

由=0，有.

當(dāng) 時(shí)，＜0，單調(diào)遞減；

當(dāng) 時(shí)，＞0，單調(diào)遞增.

（Ⅱ）令=，則=.

當(dāng)時(shí)，＞0，所以，從而=＞0.

（Ⅲ）由（Ⅱ），當(dāng)時(shí)，＞0.

當(dāng)，時(shí)，=.

故當(dāng)＞在區(qū)間內(nèi)恒成立時(shí)，必有.

當(dāng)時(shí)，＞1.

由（Ⅰ）有,從而，

所以此時(shí)＞在區(qū)間內(nèi)不恒成立.

當(dāng)時(shí)，令= （）.

當(dāng)時(shí)，= .

因此在區(qū)間單調(diào)遞增.

又因?yàn)?/span>=0，所以當(dāng)時(shí)，= ＞0，即＞恒成立.

綜上， .