Question

若

m

=(sinωx，cosωx)，

n

=(

3

cosωx，-cosωx)(ω＞0)，記f(x)=

m

•

n

，已知y=f（x）圖象的兩條相鄰對稱軸之間的距離為

π

4

．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）若△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊a，b，c滿足b²=ac，求f（B）的取值范圍．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的運算,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由平面向量數(shù)量積的運算，三角函數(shù)中的恒等變換化簡函數(shù)解析式可得：f（x）=sin(2ωx-

π

6

)-

1

2

，由周期公式即可求ω的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可求得：f(B)=sin(4B-

π

6

)-

1

2

．由b²=ac及余弦定理得cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-ac

2ac

≥

2ac-ac

2ac

=

1

2

，由B的范圍討論可得角4B-

π

6

范圍，從而可求f（B）的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）f(x)=

m

•

n

=

3

sinωx•cosωx-cos2ωx
=

3

2

sin2ωx-

1

2

(cos2ωx+1)=sin(2ωx-

π

6

)-

1

2

可知f（x）的最小正周期為

π

2

且ω＞0，從而有

2π

2ω

=

π

2

，故ω=2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=sin(4x-

π

6

)-

1

2

，
所以f(B)=sin(4B-

π

6

)-

1

2

．
因為b²=ac，
所以cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-ac

2ac

≥

2ac-ac

2ac

=

1

2

，
又0＜B＜π，
所以0＜B≤

π

3

，得-

π

6

＜4B-

π

6

≤

7π

6

，
所以-

1

2

≤sin(4B-

π

6

)≤1，
從而有-1≤sin(4B-

π

6

)-

1

2

≤

1

2

，
即f（B）的值域為[-1，

1

2

]．

點評：本題主要考查了平面向量數(shù)量積的運算，三角函數(shù)中的恒等變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，綜合性較強，屬于中檔題．