Question

19．命題P：存在實數(shù)x，x²-2cx+c＜0；命題Q：|x-1|-x+2c＞0對任意x∈R恒成立．若P或Q為真，P且Q為假，試求c的取值范圍．

Answer 1

分析 關(guān)于命題P：存在實數(shù)x，x²-2cx+c＜0，即存在實數(shù)x，使得（x-c）²＜c²-c即可，只需c²-c＞0，解得c范圍．命題Q：|x-1|-x+2c＞0，化為2c＞x-|x-1|，令f（x）=x-|x-1|=$\left\{\begin{array}{l}{1，x≥1}\\{2x-1，x＜1}\end{array}\right.$，可得f（x）≤1．即可得出c的取值范圍．若P或Q為真，P且Q為假，P與Q必然一真一假．

解答 解：關(guān)于命題P：存在實數(shù)x，x²-2cx+c＜0，
即存在實數(shù)x，使得（x-c）²＜c²-c即可，
∴只需c²-c＞0，解得：c＜0或c＞1，
∴P真：c＜0或c＞1；
命題Q：|x-1|-x+2c＞0，
化為2c＞x-|x-1|，
令f（x）=x-|x-1|=$\left\{\begin{array}{l}{1，x≥1}\\{2x-1，x＜1}\end{array}\right.$，
∴f（x）≤1．
∴2c＞1，解得c$＞\frac{1}{2}$．
若P或Q為真，P且Q為假，
∴P與Q必然一真一假．
∴$\left\{\begin{array}{l}{c＜0或c＞1}\\{c≤\frac{1}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{0≤c≤1}\\{c＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
解得c＜0或$\frac{1}{2}＞c≤1$．
因此c的取值范圍是$（-∞，0）∪（\frac{1}{2}，1]$．

點評 本題考查了一元二次不等式的解法、絕對值不等式的解法、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．