Question

15．已知C為圓x²+y²=4上一點，A（-2，0），B（2，0），連接AC，BC分別交直線x=3與P，Q兩點，M為PQ中點，求證：以PQ為直徑的圓經(jīng)過定點．

Answer 1

分析 求出P，Q的坐標，可得M的坐標，求出以PQ為直徑的圓的方程，設(shè)y=0，即可得以PQ為直徑的圓經(jīng)過定點．

解答 證明：設(shè)直線AC的方程為y=k（x+2），則直線AB的方程為y=-$\frac{1}{k}$（x-2），
x=3時，可得P（3，5k），Q（3，-$\frac{1}{k}$），
∴M（3，$\frac{1}{2}$（5k-$\frac{1}{k}$）），
∴以PQ為直徑的圓的方程為（x-3）²+[y-$\frac{1}{2}$（5k-$\frac{1}{k}$）]²=（$\frac{5k+\frac{1}{k}}{2}$）²，
設(shè)y=0，可得x=3±$\sqrt{5}$，
∴以PQ為直徑的圓經(jīng)過定點（3±$\sqrt{5}$，0）

點評 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查以PQ為直徑的圓經(jīng)過定點，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．