Question

已知P是⊙O：x²+y²=1上一動(dòng)點(diǎn)，線段AB是⊙C：（x-3）²+（y-4）²=1的一條動(dòng)直徑（A，B是直徑的兩端點(diǎn)），則

PA

•

PB

的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：圓方程的綜合應(yīng)用,直線與圓的位置關(guān)系,直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：直線與圓

分析：設(shè)出P、A、B坐標(biāo)，求出兩個(gè)向量，然后計(jì)算數(shù)量積，利用兩角和與差的三角函數(shù)化簡求解表達(dá)式的最值即可．

解答： 解：P是⊙O：x²+y²=1上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)P（cosα，sinα），
線段AB是⊙C：（x-3）²+（y-4）²=1的一條動(dòng)直徑（A，B是直徑的兩端點(diǎn)），
設(shè)A（3+cosθ，4+sinθ），則B（3-cosθ，4-sinθ），
∴

PA

=(3+cosθ-cosα，4+sinθ-sinα)，

PB

=(3-cosθ-cosα，4-sinθ-sinα)，

PA

•

PB

=(3+cosθ-cosα，4+sinθ-sinα)•(3-cosθ-cosα，4-sinθ-sinα)
=25-6cosα-8sinα
=25-10sin（α+β），tanβ=

3

4

．
又sin（α+β）∈[-1，1]，
∴

PA

•

PB

∈[15，35]．
故答案為：[15，35]．

點(diǎn)評：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，參數(shù)方程的應(yīng)用，兩角和與差的三角函數(shù)以及三角函數(shù)的最值的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．