【題目】如圖在四棱錐中，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，Q為四邊形的外接圓的圓心，平面，M在棱上，且.

（1）證明：平面.

（2）若與平面所成角為60°，求與平面所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

(1) 連接，交于點(diǎn)O，連接，再根據(jù)三角形中的性質(zhì)證明即可.

(2) 根據(jù)線面角的性質(zhì)可得與平面所成角為，再以O為坐標(biāo)原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解與平面所成角的正弦值即可.

（1）證明：如圖，連接，交于點(diǎn)O，連接.

∵，∴，則，

∴O為的中點(diǎn).

∵Q為四邊形的外接圓的圓心，∴Q為等邊的外接圓的圓心，

∴Q為等邊的重心，則.

又，∴.

∵平面，平面，∴平面.

（2）解：∵平面，

∴與平面所成角為，

則.

建立如圖所示的以O為坐標(biāo)原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，

∴，

∴.

設(shè)平面的法向量為，

則，即

令，得.

設(shè)與平面所成角為，∵，

∴，

∴與平面所成角的正弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】今年4月23日我市正式宣布實(shí)施“3+1+2”的高考新方案，“3”是指必考的語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)三門學(xué)科，“1”是指在物理和歷史中必選一科，“2”是指在化學(xué)、生物、政治、地理四科中任選兩科．為了解我校高一學(xué)生在物理和歷史中的選科意愿情況，進(jìn)行了一次模擬選科. 已知我校高一參與物理和歷史選科的有1800名學(xué)生，其中男生1000人，女生800人. 按分層抽樣的方法從中抽取了36個(gè)樣本，統(tǒng)計(jì)知其中有17個(gè)男生選物理，6個(gè)女生選歷史．

（I）根據(jù)所抽取的樣本數(shù)據(jù)，填寫答題卷中的列聯(lián)表. 并根據(jù)統(tǒng)計(jì)量判斷能否有的把握認(rèn)為選擇物理還是歷史與性別有關(guān)？

（II）在樣本里選歷史的人中任選4人，記選出4人中男生有人，女生有人，求隨機(jī)變量 的分布列和數(shù)學(xué)期望．（的計(jì)算公式見(jiàn)下），臨界值表：

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以直角坐標(biāo)系原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸并取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系.

（1）求曲線的極坐標(biāo)方程，并說(shuō)明其表示什么軌跡；

（2）若直線的極坐標(biāo)方程為，求曲線上的點(diǎn)到直線的最大距離.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】隨著科技的發(fā)展，網(wǎng)購(gòu)已經(jīng)逐漸融入了人們的生活.在家里面不用出門就可以買到自己想要的東西，在網(wǎng)上付款即可，兩三天就會(huì)送到自己的家門口，如果近的話當(dāng)天買當(dāng)天就能送到，或者第二天就能送到，所以網(wǎng)購(gòu)是非常方便的購(gòu)物方式.某公司組織統(tǒng)計(jì)了近五年來(lái)該公司網(wǎng)購(gòu)的人數(shù)（單位：人）與時(shí)間（單位：年）的數(shù)據(jù)，列表如下：

1

2

3

4

5

24

27

41

64

79

（1）依據(jù)表中給出的數(shù)據(jù)，是否可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，請(qǐng)計(jì)算相關(guān)系數(shù)并加以說(shuō)明（計(jì)算結(jié)果精確到0.01）.（若，則線性相關(guān)程度很高，可用線性回歸模型擬合）

附：相關(guān)系數(shù)公式 ，參考數(shù)據(jù).

（2）建立關(guān)于的回歸方程，并預(yù)測(cè)第六年該公司的網(wǎng)購(gòu)人數(shù)（計(jì)算結(jié)果精確到整數(shù)）.

（參考公式： ，）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某學(xué)校因?yàn)楹傺悠陂_(kāi)學(xué)，根據(jù)教育部停課不停學(xué)的指示，該學(xué)校組織學(xué)生線上教學(xué)，高一年級(jí)在線上教學(xué)一個(gè)月后，為了了解線上教學(xué)的效果，在線上組織數(shù)學(xué)學(xué)科考試，隨機(jī)抽取50名學(xué)生（滿分150分，且抽取的學(xué)生成績(jī)都在內(nèi)）的成績(jī)并制成頻率分布直方圖如圖所示.

（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這50名同學(xué)的數(shù)學(xué)平均成績(jī)；（同一組中的數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）

（2）用分層抽樣的方法從成績(jī)?cè)?/span>和的同學(xué)中抽取6名，再在抽取的這6名同學(xué)中任選2名，求這兩名同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)谕唤M中的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線M的極坐標(biāo)方程為.

（1）求C的極坐標(biāo)方程和曲線M的直角坐標(biāo)方程；

（2）若M與C只有1個(gè)公共點(diǎn)P，求m的值與P的極坐標(biāo)(，).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某公司為了提高利潤(rùn)，從2012年至2018年每年對(duì)生產(chǎn)環(huán)節(jié)的改進(jìn)進(jìn)行投資，投資金額與年利潤(rùn)增長(zhǎng)的數(shù)據(jù)如下表：

年份

2012

2013

2014

2015

2016

2017

2018

投資金額（萬(wàn)元）

年利潤(rùn)增長(zhǎng)（萬(wàn)元）

（1）請(qǐng)用最小二乘法求出關(guān)于的回歸直線方程；如果2019年該公司計(jì)劃對(duì)生產(chǎn)環(huán)節(jié)的改進(jìn)的投資金額為萬(wàn)元，估計(jì)該公司在該年的年利潤(rùn)增長(zhǎng)為多少？（結(jié)果保留兩位小數(shù)）

（2）現(xiàn)從2012年—2018年這年中抽出三年進(jìn)行調(diào)查，記年利潤(rùn)增長(zhǎng)投資金額，設(shè)這三年中（萬(wàn)元）的年份數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列與期望.

參考公式：.

參考數(shù)據(jù)：，.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)為實(shí)數(shù)，.證明：

(1)把寫成無(wú)窮乘積有唯一的表達(dá)式其中，為正整數(shù)，滿足；

(2)是有理數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)它的無(wú)窮乘積具有下列性質(zhì)：存在，對(duì)所有的，滿足

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