Question

12．函數(shù)y=sin（x+$\frac{π}{4}$）-sin2x（x∈R）的最大值是．

Answer 1

分析 由條件利用三角恒等變換、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，令t=sinx+cosx∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，可得y=-${（t-\frac{\sqrt{2}}{4}）}^{2}$+$\frac{9}{8}$，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)y取得最大值．

解答 解：函數(shù)$y=sin（x+\frac{π}{4}）-sin2x$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinx+$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosx-2sinxcosx=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sinx+cosx）-2sinxcosx，
令t=sinx+cosx∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，則t²=1+2sinxcosx，y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$t-t²+1=-${（t-\frac{\sqrt{2}}{4}）}^{2}$+$\frac{9}{8}$，
故當t=$\frac{\sqrt{2}}{4}$時，函數(shù)y取得最大值為$\frac{9}{8}$，
故答案為：$\frac{9}{8}$．

點評 本題主要考查三角恒等變換，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，正弦函數(shù)的值域、二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．