Question

11．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，點M，N為長軸的兩個端點，若在橢圓上存在點H，使${k_{MH}}{k_{NH}}∈（-\frac{1}{2}，0）$，則離心率e的取值范圍為（　�。�

• A． $（\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1）$
• B． $（0，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$
• C． $（\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1）$
• D． $（0，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$

Answer 1

分析 設H（x₀，y₀），則${y}_{0}^{2}$=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}（{a}^{2}-{x}_{0}^{2}）$．可得k_MHk_NH=$\frac{{y}_{0}^{2}}{{x}_{0}^{2}-{a}^{2}}$=$-\frac{^{2}}{{a}^{2}}$∈$（-\frac{1}{2}，0）$，即可得出．

解答 解：M（-a，0），N（a，0）．
設H（x₀，y₀），則${y}_{0}^{2}$=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}（{a}^{2}-{x}_{0}^{2}）$．
∴k_MHk_NH=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+a}$$•\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-a}$=$\frac{{y}_{0}^{2}}{{x}_{0}^{2}-{a}^{2}}$=$\frac{\frac{^{2}}{{a}^{2}}（{a}^{2}-{x}_{0}^{2}）}{{x}_{0}^{2}-{a}^{2}}$=$-\frac{^{2}}{{a}^{2}}$∈$（-\frac{1}{2}，0）$，
可得：$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{{a}^{2}}$=e²-1∈$（-\frac{1}{2}，0）$，
∴e∈$（\frac{\sqrt{2}}{2}，1）$．
故選：A．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質、斜率計算公式、不等式的解法與性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．