Question

11．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，點(diǎn)M，N為長軸的兩個(gè)端點(diǎn)，若在橢圓上存在點(diǎn)H，使${k_{MH}}{k_{NH}}∈（-\frac{1}{2}，0）$，則離心率e的取值范圍為（　　）

• A． $（\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1）$
• B． $（0，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$
• C． $（\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1）$
• D． $（0，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$

Answer 1

分析 設(shè)H（x₀，y₀），則${y}_{0}^{2}$=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}（{a}^{2}-{x}_{0}^{2}）$．可得k_MHk_NH=$\frac{{y}_{0}^{2}}{{x}_{0}^{2}-{a}^{2}}$=$-\frac{^{2}}{{a}^{2}}$∈$（-\frac{1}{2}，0）$，即可得出．

解答 解：M（-a，0），N（a，0）．
設(shè)H（x₀，y₀），則${y}_{0}^{2}$=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}（{a}^{2}-{x}_{0}^{2}）$．
∴k_MHk_NH=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+a}$$•\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-a}$=$\frac{{y}_{0}^{2}}{{x}_{0}^{2}-{a}^{2}}$=$\frac{\frac{^{2}}{{a}^{2}}（{a}^{2}-{x}_{0}^{2}）}{{x}_{0}^{2}-{a}^{2}}$=$-\frac{^{2}}{{a}^{2}}$∈$（-\frac{1}{2}，0）$，
可得：$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{{a}^{2}}$=e²-1∈$（-\frac{1}{2}，0）$，
∴e∈$（\frac{\sqrt{2}}{2}，1）$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、斜率計(jì)算公式、不等式的解法與性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．