Question

12．已知A（-4，0），B是圓F：（x-4）²+y²=4（F為圓心）上一動點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交直線BF于P，則動點(diǎn)P的軌跡方程為x²-$\frac{{y}^{2}}{15}$=1．

Answer 1

分析 利用線段垂直平分線的性質(zhì)和雙曲線的定義，可證出||PF|-|PA||為定值，且這個定值小于AF長，故點(diǎn)P的軌跡是以A、F 為焦點(diǎn)的雙曲線，然后求出a、b的值得到雙曲線的方程，即為所求動點(diǎn)P的軌跡方程．

解答 解：由題意得圓心F（4，0），半徑r=2，
∵線段AB的垂直平分線交BF于點(diǎn)P，
得|PA|=|PB|，
∴||PF|-|PA||=||PF|-|PB||=|BF|=r=2＜|AF|，
故點(diǎn)P的軌跡是以A、F 為焦點(diǎn)的雙曲線，
其中2a=2，c=4，可得b²=c²-a²=15，
∴雙曲線的方程為x²-$\frac{{y}^{2}}{15}$=1．
故答案為：x²-$\frac{{y}^{2}}{15}$=1．

點(diǎn)評 本題給出圓內(nèi)滿足條件的動點(diǎn)P，求點(diǎn)P的軌跡方程，著重考查了雙曲線的定義、線段的中垂線的性質(zhì)和圓的性質(zhì)等知識，屬于中檔題．