Question

定義域是一切實數的函數y=f（x），其圖象是連續(xù)不斷的，且存在常數λ（λ∈R）使得f（x+λ）+λf（x）=0對任意實數x都成立，則稱f（x）是一個“λ-伴隨函數”．有下列關于“λ-伴隨函數”的結論：
①f（x）=0是常數函數中唯一個“λ-伴隨函數”；
②“

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-伴隨函數”至少有一個零點；
③f（x）=x²是一個“λ-伴隨函數”；
其中正確結論的個數是（　　）

• A、1個
• B、2個
• C、3個
• D、0個

Answer 1

考點：函數的圖象

專題：函數的性質及應用

分析：①設f（x）=C是一個“λ-伴隨函數”，則（1+λ）C=0，當λ=-1時，可以取遍實數集，因此f（x）=0不是唯一一個常值“λ-伴隨函數”；
②令x=0，可得f（

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）=-

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f（0），若f（0）=0，顯然f（x）=0有實數根；若f（0）≠0，f（

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2

）•f（0）=-

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（f（0））²＜0，由此可得結論；
③用反證法，假設f（x）=x²是一個“λ-伴隨函數”，則（x+λ）²+λx²=0，從而有λ+1=2λ=λ²=0，此式無解；

解答： 解：①設f（x）=C是一個“λ-伴隨函數”，則（1+λ）C=0，當λ=-1時，可以取遍實數集，因此f（x）=0不是唯一一個常值“λ-伴隨函數”，故①不正確；
②令x=0，得f（

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）+

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2

f（0）=0，所以f（

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）=-

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2

f（0）
若f（0）=0，顯然f（x）=0有實數根；若f（0）≠0，f（

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2

）•f（0）=-

1

2

（f（0））²＜0．
又因為f（x）的函數圖象是連續(xù)不斷，所以f（x）在（0，

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2

）上必有實數根．因此任意的“

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2

-伴隨函數”必有根，即任意“

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2

-伴隨函數”至少有一個零點，故②正確；
③用反證法，假設f（x）=x²是一個“λ-伴隨函數”，則（x+λ）²+λx²=0，即（1+λ）x²+2λx+λ²=0對任意實數x成立，所以λ+1=2λ=λ²=0，而此式無解，所以f（x）=x²不是一個“λ-伴隨函數”，故③不正確；
故正確結論的個數1個，
故選：A

點評：本題考查的知識點是函數的概念及構成要素，函數的零點，正確理解f（x）是λ-伴隨函數的定義，是解答本題的關鍵．