Question

7．已知單位向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的夾角為$\frac{π}{3}$，設(shè)向量$\overrightarrow{c}$=x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow$，x，y∈R，若|$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=1，則x+2y的最大值為5．

Answer 1

分析 運(yùn)用向量的數(shù)量積的定義可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=$\frac{1}{2}$，由題意可得（x-1）²+（y-1）²+（x-1）（y-1）=1，令x+2y=t，即有x=t-2y，代入化為3y²+（3-3t）y+t²-3t+2=0，由y∈R，可得△≥0，解不等式即可得到所求最大值．

解答 解：由單位向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的夾角為$\frac{π}{3}$，可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=1×1×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，
若|$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=1，則|（x-1）$\overrightarrow{a}$+（y-1）$\overrightarrow$|=1，
即為（x-1）²$\overrightarrow{a}$²+（y-1）²$\overrightarrow$²+2（x-1）（y-1）$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=1，
可得（x-1）²+（y-1）²+（x-1）（y-1）=1，
令x+2y=t，即有x=t-2y，
即（t-2y-1）²+（y-1）²+（t-2y-1）（y-1）=1，
化簡可得3y²+（3-3t）y+t²-3t+2=0，
由y∈R，可得△≥0，
即（3-3t）²-12（t²-3t+2）≥0，
化簡為t²-6t+5≤0，
解得1≤t≤5．
可得x+2y的最大值為5．
故答案為：5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì)，考查最值的求法，注意運(yùn)用方程有實(shí)數(shù)解的條件：判別式大于等于0，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．