Question

17．如圖，橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)為F₁（-1，0），離心率是e，點(diǎn)（1，e）在橢圓上．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)M（2，0），過(guò)點(diǎn)F₁的直線交C于A，B兩點(diǎn)，直線MA，MB與直線x=-2分別交于P，Q兩點(diǎn)，求△MPQ面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意列關(guān)于a，b，c的方程組，求解方程組得到a，b，c的值，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）設(shè)出過(guò)點(diǎn)F₁ 的直線AB為x=my-1，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，化為關(guān)于y的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出P，Q的縱坐標(biāo)，代入三角形面積公式，利用基本不等式求最值．

解答 解：（Ⅰ）由題意可得$\left\{\begin{array}{l}{c=1}\\{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{{e}^{2}}{^{2}}=1}\\{e=\frac{1}{a}}\\{^{2}={a}^{2}-1}\end{array}\right.$，解得a²=2，b²=1，
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)F₁ 的直線AB為x=my-1，代入橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，
得（m²+2）y²-2my-1=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{2m}{{m}^{2}+2}，{y}_{1}{y}_{2}=\frac{-1}{{m}^{2}+2}$，
由M，A，P三點(diǎn)共線，得${y}_{P}=\frac{-4{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$，同理${y}_{Q}=\frac{-4{y}_{2}}{{x}_{2}-2}$，
則△MPQ的面積$S=\frac{1}{2}•4|{y}_{P}-{y}_{Q}|=24|\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{m}^{2}{y}_{1}{y}_{2}-3m（{y}_{1}+{y}_{2}）+9}|$
=$24\sqrt{2}\frac{\sqrt{{m}^{2}+1}}{{m}^{2}+9}=\frac{24\sqrt{2}}{\sqrt{{m}^{2}+1}+\frac{8}{\sqrt{{m}^{2}+1}}}$≤6．
故當(dāng)m²=7時(shí)，△MPQ面積的最大值為6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，訓(xùn)練了三角形面積的求法，是中檔題．