Question

已知關(guān)于x的不等式（ax-a²-4）（x+1）＜0的解集為A，且A中共含有n個(gè)整數(shù)，則當(dāng)n最小時(shí)，實(shí)數(shù)a的值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次不等式的解法

專(zhuān)題：分類(lèi)討論,不等式的解法及應(yīng)用

分析：根據(jù)已知關(guān)于x的不等式（ax-a²-4）（x+1）＜0，利用a+

4

a

與-1的大小關(guān)系，對(duì)字母a進(jìn)行分類(lèi)討論：①a＜0時(shí)，[x-（a+

4

a

）]（x+1）＜0，其中a+

4

a

≤-4＜-1，故解集為（a+

4

a

，-1），利用基本不等式得出a+

4

a

的最大值為-4，從而A中共含有最少個(gè)整數(shù)，求得此時(shí)實(shí)數(shù)a的值；②a=0時(shí)，-4（x+1）＜0，解集為（-1，+∞），整數(shù)解有無(wú)窮多，不符合條件； ③a＞0時(shí)，[x-（a+

4

a

）]（x+1）＜0，此時(shí)整數(shù)解有無(wú)窮多，不符合條件．

解答： 解：已知關(guān)于x的不等式（ax-a²-4）（x+1）＜0，
 ①a＜0時(shí)，[x-（a+

4

a

）]（x+1）＞0，其中a+

4

a

≤-4＜-1，
故解集為（-∞，a+

4

a

）∪（-1，+∞），整數(shù)解有無(wú)窮多，故a＜0不符合條件；
②a=0時(shí)，-4（x+1）＞0，解集為（-1，+∞），整數(shù)解有無(wú)窮多，故a=0不符合條件；
③a＞0時(shí)，[x-（a+

4

a

）]（x+1）＜0，其中a+

4

a

≥4，
∴故解集為（-1，a+

4

a

），
由于a+

4

a

≥4，當(dāng)且僅當(dāng)a=

4

a

，即a=2時(shí)取等號(hào)，
a+

4

a

的最小值為4，當(dāng)且僅當(dāng)a+

4

a

=4時(shí)，A中共含有4個(gè)整數(shù)，此時(shí)實(shí)數(shù)a的值為2；
所以整數(shù)解最少有4個(gè)，故a＞0符合條件；
綜上所述，a=2．
故答案為：2

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查一元二次不等式的應(yīng)用、元素與集合關(guān)系的判斷、不等式的解法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查分類(lèi)討論思想．屬于中檔題．