Question

13．二項式（ax-$\frac{\sqrt{3}}{6}$）³（a＞0）的展開式的第二項的系數(shù)為-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，則${∫}_{0}^{a}$（$\sqrt{2x-{x}^{2}}$-x）dx的值為（　　）

• A． $\frac{π-2}{4}$
• B． $\frac{π-2}{2}$
• C． $\frac{π-1}{2}$
• D． $\frac{π-1}{4}$

Answer 1

分析 二項式（ax-$\frac{\sqrt{3}}{6}$）³（a＞0）的展開式的第二項=${∁}_{3}^{1}（ax）^{2}（-\frac{\sqrt{3}}{6}）$，由題意解得a=1.${∫}_{0}^{a}$（$\sqrt{2x-{x}^{2}}$-x）dx=${∫}_{0}^{1}$（$\sqrt{2x-{x}^{2}}$-x）dx，令y=$\sqrt{2x-{x}^{2}}$，化為（x-1）²+y²=1（y≥0），畫出函數(shù)y=$\sqrt{2x-{x}^{2}}$，y=x的圖象．利用微積分基本定理結合圖象即可得出．

解答 解：∵二項式（ax-$\frac{\sqrt{3}}{6}$）³（a＞0）的展開式的第二項=${∁}_{3}^{1}（ax）^{2}（-\frac{\sqrt{3}}{6}）$=$-\frac{\sqrt{3}}{2}$a²x²，
∴$-\frac{\sqrt{3}}{2}$a²=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得a=1．
∴${∫}_{0}^{a}$（$\sqrt{2x-{x}^{2}}$-x）dx=${∫}_{0}^{1}$（$\sqrt{2x-{x}^{2}}$-x）dx，
令y=$\sqrt{2x-{x}^{2}}$，化為（x-1）²+y²=1（y≥0），
畫出函數(shù)y=$\sqrt{2x-{x}^{2}}$，y=x的圖象．
由y=$\sqrt{2x-{x}^{2}}$，y=x聯(lián)立解得x=y=1．
則${∫}_{0}^{1}$（$\sqrt{2x-{x}^{2}}$-x）dx=$\frac{1}{4}×π×{1}^{2}$-$\frac{1}{2}×{1}^{2}$=$\frac{π-2}{4}$．
故選：A．

點評 本題考查了二項式定理的性質及其通項公式、微積分基本定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．