Question

18．如圖，正四面體ABCD的頂點(diǎn)A，B，C分別在兩兩垂直的三條射線Ox，Oy，Oz上，則在下列命題中，錯(cuò)誤的為（　　）

• A． O-ABC是正三棱錐（底面為正三角形，頂點(diǎn)在底面的投影為底面的中心）
• B． 直線OB∥平面ACD
• C． OD⊥平面ABC
• D． 直線CD與平面ABC所成的角的正弦值為$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$

Answer 1

分析 結(jié)合圖形，逐一分析答案，運(yùn)用排除、舉反例直接計(jì)算等手段，找出正確答案．

解答 解：對(duì)于A，如圖ABCD為正四面體，∴△ABC為等邊三角形，
又∵OA、OB、OC兩兩垂直，∴OA⊥面OBC，∴OA⊥BC．
過O作底面ABC的垂線，垂足為N，連接AN交BC于M，
由三垂線定理可知BC⊥AM，∴M為BC中點(diǎn)，
同理可證，連接CN交AB于P，則P為AB中點(diǎn)，
∴N為底面△ABC中心，∴O-ABC是正三棱錐，
故A正確．
對(duì)于B，將正四面體ABCD放入正方體中，如圖所示，
顯然OB與平面ACD不平行．則答案B不正確．
OD⊥平面ABC，正確；
對(duì)于D，CD在平面ABC上的射影為$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴直線CD與平面ABC所成的角的正弦值為$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，正確．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線和平面的位置關(guān)系，直線和平面成的角、二面角的定義和求法，結(jié)合圖形分析答案，增強(qiáng)直觀性，屬于中檔題．