對于直線L：y=kx+1是否存在這樣的實數(shù)，使得L與雙曲線C：3x2-y2=1的交點A，B關(guān)于直線y=ax（a為常數(shù)）對稱？若存在，求k的值；若不存在，說明理由．
分析：利用兩點關(guān)于直線對稱滿足兩點的中點在直線上；兩點連線與對稱軸垂直列出方程組，將韋達定理代入得到a，k關(guān)系．判斷出是否存在．
解答：證明：（反證法）假設(shè)存在實數(shù)k，使得A、B關(guān)于直線y=ax對稱，（1分）
設(shè)A（ x1，y1），B（ x2，y2），（2分）
則
ka=-1…(1)
y1+y2=k(x1+x2)+2…(2)
y1+y2
2
=a
x1+x2
2
…(3)
，（6分）
由
y=kx+1
y2=3x2-1
得（3-k2）x2-2kx-2=0，（4）（8分）
由（2）（3）有a（x1+x2）=k（x1+x2）+2，（5）（9分）
由（4）知x1+x2=
2k
3-k2
，（10分）
代入（5）整理得ak=3，與（1）矛盾，（12分）
故不存在實數(shù)k，使得A、B關(guān)于直線y=ax對稱，（14分）
點評：本題考查解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系常將它們的方程聯(lián)立，處理兩點關(guān)于直線對稱的問題常借用兩點的中點在對稱軸上；兩點連線與對稱軸垂直．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)雙曲線C的中心在原點，以拋物線y2=2
3
x-4的頂點為雙曲線的右焦點，拋物線的準線為雙曲線的右準線．
（1）試求雙曲線C的方程；
（2）設(shè)直線l：y=2x+1與雙曲線C交于A、B兩點，求|AB|；
（3）對于直線L：y=kx+1，是否存在這樣的實數(shù)k，使直線L與雙曲線C的交點A、B關(guān)于直線y=ax（a為常數(shù)）對稱，若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，點F是橢圓W：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦點，A、B分別是橢圓的右頂點與上頂點，橢圓的離心率為
1
2
，三角形ABF的面積為
3
3
2
，
（Ⅰ）求橢圓W的方程；
（Ⅱ）對于x軸上的點P（t，0），橢圓W上存在點Q，使得PQ⊥AQ，求實數(shù)t的取值范圍；
（Ⅲ）直線l：y=kx+m（k≠0）與橢圓W交于不同的兩點M、N （M、N異于橢圓的左右頂點），若以MN為直徑的圓過橢圓W的右頂點A，求證：直線l過定點，并求出該定點的坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

對于直線l：y=kx+1，是否存在這樣的實數(shù)k，使得l與雙曲線C：3x－y=1的交點A、B關(guān)于直線y=ax（a為常數(shù)）對稱？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由。

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科目：高中數(shù)學 來源：2010年貴州省黔南州都勻市高考數(shù)學模擬試卷（一）（解析版） 題型：解答題

設(shè)雙曲線C的中心在原點，以拋物線的頂點為雙曲線的右焦點，拋物線的準線為雙曲線的右準線．
（1）試求雙曲線C的方程；
（2）設(shè)直線l：y=2x+1與雙曲線C交于A、B兩點，求|AB|；
（3）對于直線L：y=kx+1，是否存在這樣的實數(shù)k，使直線L與雙曲線C的交點A、B關(guān)于直線y=ax（a為常數(shù)）對稱，若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

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