【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD的側(cè)面PAD是正三角形,底面ABCD為菱形,A點(diǎn)E為AD的中點(diǎn),若BE=PE.

(1)求證:PB⊥BC;
(2)若∠PEB=120°,求二面角A﹣PB﹣C的余弦值.

【答案】
(1)證明:由BE=PE,AB=PA,AE=AE,得△AEP≌△AEB,

∴∠EAB=60°,且AD⊥BE,

又∵AD⊥PE,

∴AD⊥平面PBE,

∵PB平面PBE,得AD⊥PB,

又AD∥BC,

∴PB⊥BC.


(2)解:如圖,過(guò)P作PO⊥平面ABCD,交BE延長(zhǎng)線于O,

以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),過(guò)O作DA的平行線為x軸,OB為y軸,OP為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,

P(0,0, ),B(0, ,0),PB的中占點(diǎn)G(0, , ),連結(jié)AG,

又A(1, ,0),C(﹣2, ,0),由此得到 =(1,﹣ ,﹣ ),

=(0, ), =(﹣2,0,0),

=0, =0,

, ,

的夾角為θ等于所求二面角二面角A﹣PB﹣C的平面角,

∴cos = =﹣

∴二面角A﹣PB﹣C的余弦值為﹣


【解析】(1)推導(dǎo)出∠EAB=60°,且AD⊥BE,AD⊥PE,從而AD⊥平面PBE,進(jìn)而AD⊥PB,由此能證明PB⊥BC.(2)過(guò)P作PO⊥平面ABCD,交BE延長(zhǎng)線于O,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),過(guò)O作DA的平行線為x軸,OB為y軸,OP為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出二面角二面角A﹣PB﹣C的余弦值.
【考點(diǎn)精析】掌握空間中直線與直線之間的位置關(guān)系是解答本題的根本,需要知道相交直線:同一平面內(nèi),有且只有一個(gè)公共點(diǎn);平行直線:同一平面內(nèi),沒(méi)有公共點(diǎn);異面直線: 不同在任何一個(gè)平面內(nèi),沒(méi)有公共點(diǎn).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】已知雙曲線的右焦點(diǎn)為, 是雙曲線C上的點(diǎn), ,連接并延長(zhǎng)交雙曲線C與點(diǎn)P,連接,若是以為頂點(diǎn)的等腰直角三角形,則雙曲線C的漸近線方程為(

A. B. C. D.

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【題目】已知二次函數(shù),滿足.

1)求函數(shù)的解析式;

2)若關(guān)于的不等式上有解,求實(shí)數(shù)的取值范圍;

3)若函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別在區(qū)間內(nèi),求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C (ab>0)的一條準(zhǔn)線方程為x,離心率為

(1)求橢圓C的方程;

(2)如圖,設(shè)A為橢圓的上頂點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A作兩條直線AMAN,分別與橢圓C相交于MN兩點(diǎn),且直線MN垂直于x

設(shè)直線AM,AN的斜率分別是k1, k2,求k1k2的值;

過(guò)M作直線l1AM,過(guò)N作直線l2AN,l1l2相交于點(diǎn)Q.試問(wèn):點(diǎn)Q是否在一條定直線上?若在,求出該直線的方程;若不在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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【題目】平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓的離心率為,左右焦點(diǎn)分別為,以點(diǎn)為圓心,以為半徑的圓與以點(diǎn)為圓心,以為半徑的圓相交,且交點(diǎn)在橢圓上.

)求橢圓的方程.

)設(shè)橢圓 為橢圓上任意一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓、兩點(diǎn),射線交橢圓于點(diǎn)

①求的值.

②(理科生做)求面積的最大值.

③(文科生做)當(dāng)時(shí), 面積的最大值.

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【題目】如圖,在下列四個(gè)正方體中,為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn),為所在棱的中點(diǎn),則在這四個(gè)正方體中,直接與平面不平行的是(

A. B.

C. D.

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【題目】某企業(yè)一天中不同時(shí)刻的用電量(萬(wàn)千瓦時(shí))關(guān)于時(shí)間(小時(shí),)的函數(shù)近似滿足,如圖是函數(shù)的部分圖象(對(duì)應(yīng)凌晨點(diǎn)).

(Ⅰ)根據(jù)圖象,求的值;

(Ⅱ)由于當(dāng)?shù)囟眷F霾嚴(yán)重,從環(huán)保的角度,既要控制火力發(fā)電廠的排放量,電力供應(yīng)有限;又要控制企業(yè)的排放量,于是需要對(duì)各企業(yè)實(shí)行分時(shí)拉閘限電措施.已知該企業(yè)某日前半日能分配到的供電量 (萬(wàn)千瓦時(shí))與時(shí)間(小時(shí))的關(guān)系可用線性函數(shù)模型模擬.當(dāng)供電量小于該企業(yè)的用電量時(shí),企業(yè)就必須停產(chǎn).初步預(yù)計(jì)停產(chǎn)時(shí)間在中午11點(diǎn)到12點(diǎn)間,為保證該企業(yè)既可提前準(zhǔn)備應(yīng)對(duì)停產(chǎn),又可盡量減少停產(chǎn)時(shí)間,請(qǐng)從這個(gè)初步預(yù)計(jì)的時(shí)間段開(kāi)始,用二分法幫其估算出精確到15分鐘的停產(chǎn)時(shí)間段.

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(1)求的通項(xiàng)公式;

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1)求的值,并根據(jù)樣本數(shù)據(jù),試估計(jì)盒子中小球重量的眾數(shù)與平均值;

2)從盒子中隨機(jī)抽取3個(gè)小球,其中重量內(nèi)的小球個(gè)數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.(以直方圖中的頻率作為概率)

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