【題目】一個盒子中裝有大量形狀大小一樣但重量不盡相同的小球,從中隨機抽取50個作為樣本,稱出它們的重量單位:克,重量分組區(qū)間為,,,,由此得到樣本的重量頻率分布直方圖如圖.
(1)求的值,并根據(jù)樣本數(shù)據(jù),試估計盒子中小球重量的眾數(shù)與平均值;
(2)從盒子中隨機抽取3個小球,其中重量內(nèi)的小球個數(shù)為,求的分布列和數(shù)學期望.(以直方圖中的頻率作為概率)
【答案】(1),眾數(shù)約為20,平均值為24.6(2)
【解析】試題分析:(Ⅰ)由頻率分布直方圖中所有小矩形面積(頻率)之和為1,可計算出,眾數(shù)取頻率最大即矩形最高的那個矩形的中點橫坐標,平均值用各矩形中點值乘頻率相加即得;(Ⅱ)的可能取值為、、、,利用樣本估計總體,該盒子中小球重量在內(nèi)的概率為,因此有,從而可得分布列,最后由期望公式可計算出期望.
試題解析:(Ⅰ)由題意,得,
解得;
又由最高矩形中點的的橫坐標為20,可估計盒子中小球重量的眾數(shù)約為20(克)
而個樣本小球重量的平均值為: (克)
故由樣本估計總體,可估計盒子中小球重量的平均值約為克;
(Ⅱ)利用樣本估計總體,該盒子中小球重量在內(nèi)的概率為
則. 的可能取值為、、、,
, ,
, .
的分布列為:
.(或者)
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【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD的側(cè)面PAD是正三角形,底面ABCD為菱形,A點E為AD的中點,若BE=PE.
(1)求證:PB⊥BC;
(2)若∠PEB=120°,求二面角A﹣PB﹣C的余弦值.
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【題目】已知橢圓 +y2=1,A,B,C,D為橢圓上四個動點,且AC,BD相交于原點O,設(shè)A(x1 , y1),B(x2 , y2)滿足 = .
(1)求證: + = ;
(2)kAB+kBC的值是否為定值,若是,請求出此定值,并求出四邊形ABCD面積的最大值,否則,請說明理由.
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【題目】已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù).
(1)求的值;
(2)已知在定義域上為減函數(shù),若對任意的,不等式為常數(shù))恒成立,求的取值范圍.
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【題目】我們?yōu)榱颂骄亢瘮?shù)的部分性質(zhì),先列表如下:
… | 0.5 | 1 | 1.5 | 1.7 | 1.9 | 2 | 2.1 | 2.2 | 2.3 | 3 | 4 | 5 | 7 | … | |
… | 8.5 | 5 | 4.17 | 4.05 | 4.005 | 4 | 4.004 | 4.02 | 4.04 | 4.3 | 5 | 5.8 | 7.57 | … |
觀察表中值隨值變化的特點,完成以下的問題.
首先比較容易看得出來:此函數(shù)在區(qū)間上是遞減的;
(1)函數(shù)在區(qū)間 上遞增
當 時,= .
(2)請你根據(jù)上面性質(zhì)作出此函數(shù)的大概圖像;
(3)試用函數(shù)單調(diào)性的定義證明:函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù).
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【題目】(12分)已知函數(shù)f(x)=
(1)判斷函數(shù)在區(qū)間[1,+∞)上的單調(diào)性,并用定義證明你的結(jié)論.
(2)求該函數(shù)在區(qū)間[1,4]上的最大值與最小值.
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【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)求的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)求在區(qū)間上的最小值.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).
【解析】(Ⅰ).
令,得.
與的情況如上:
所以,的單調(diào)遞減區(qū)間是,單調(diào)遞增區(qū)間是.
(Ⅱ)當,即時,函數(shù)在上單調(diào)遞增,
所以在區(qū)間上的最小值為.
當,即時,
由(Ⅰ)知在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
所以在區(qū)間上的最小值為.
當,即時,函數(shù)在上單調(diào)遞減,
所以在區(qū)間上的最小值為.
綜上,當時,的最小值為;
當時,的最小值為;
當時,的最小值為.
【題型】解答題
【結(jié)束】
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【題目】已知拋物線的頂點在原點,焦點在坐標軸上,點為拋物線上一點.
(1)求的方程;
(2)若點在上,過作的兩弦與,若,求證: 直線過定點.
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【題目】已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù),且當時, .現(xiàn)已畫出函數(shù)在軸左側(cè)的圖象,如圖所示,并根據(jù)圖象:
(1)直接寫出函數(shù), 的增區(qū)間;
(2)寫出函數(shù), 的解析式;
(3)若函數(shù), ,求函數(shù)的最小值.
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【題目】如圖,在多面體中,底面為正方形,四邊形是矩形,平面平面.
(1)求證:平面平面;
(2)若過直線的一個平面與線段和分別相交于點和 (點與點均不重合),求證: ;
(3)判斷線段上是否存在一點,使得平面平面?若存在,求的值;若不存在,請說明理由.
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