Question

4．已知數(shù)列{a_n}滿足a_n+1-2a_n=0，且a₁=3．
（1）寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）96是數(shù)列中的項(xiàng)嗎？若是，是第幾項(xiàng)，若不是說(shuō)明理由；
（3）若b_n=3a_n+1，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求S_n．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式可得所求通項(xiàng)；
（2）令a_n=96，解方程可得n，進(jìn)而得到結(jié)論；
（3）求出b_n=3a_n+1=9•2^n-1+1，再由數(shù)列的求和方法：分組求和，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，即可得到所求和．

解答 解：（1）由題意可得a_n+1=2a_n，
則數(shù)列{a_n}為首項(xiàng)為3，公比為2的等比數(shù)列，
可得a_n=a₁q^n-1=3•2^n-1；
（2）令3•2^n-1=96，解得n=6，
則96是數(shù)列中的第6項(xiàng)；
（3）b_n=3a_n+1=9•2^n-1+1，
前n項(xiàng)和為S_n=（9+18+…+9•2^n-1）+（1+1+…+1）
=$\frac{9（1-{2}^{n}）}{1-2}$+n=9•2ⁿ+n-9．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及運(yùn)用，同時(shí)考查等比數(shù)列的求和公式和數(shù)列的求和方法：分組求和，屬于基礎(chǔ)題．