【題目】已知函數f(x)=x2﹣2x﹣8,g(x)=2x2﹣4x﹣16,
(1)求不等式g(x)<0的解集;
(2)若對一切x>2,均有f(x)≥(m+2)x﹣m﹣15成立,求實數m的取值范圍.
【答案】
(1)解:由g(x)=2x2﹣4x﹣16<0,得x2﹣2x﹣8<0,
即(x+2)(x﹣4)<0,解得﹣2<x<4.
所以不等式g(x)<0的解集為{x|﹣2<x<4}
(2)解:因為f(x)=x2﹣2x﹣8,
當x>2時,f(x)≥(m+2)x﹣m﹣15成立,
則x2﹣2x﹣8≥(m+2)x﹣m﹣15成立,
即x2﹣4x+7≥m(x﹣1).
所以對一切x>2,均有不等式 成立.
而 (當x=3時等號成立).
所以實數m的取值范圍是(﹣∞,2]
【解析】(1)直接因式分解后求解不等式的解集;(2)把函數f(x)的解析式代入f(x)≥(m+2)x﹣m﹣15,分離變量m后利用基本不等式求解m的取值范圍.
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【題目】選修4-4:坐標系與參數方程
已知極坐標系的極點與直角坐標系的原點重合,極軸與直角坐標系中軸的正半軸重合.若曲線的參數方程為(為參數),直線的極坐標方程為.
(1)將曲線的參數方程化為極坐標方程;
(2)由直線上一點向曲線引切線,求切線長的最小值.
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【題目】已知單調遞增的等比數列滿足,且是, 的等差中項.
(Ⅰ)求數列的通項公式;
(Ⅱ)若數列滿足,求數列的通項公式;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,設,問是否存在實數使得數列()是單調遞增數列?若存在,求出的取值范圍;若不存在,請說明理由.
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【題目】某種產品的廣告費支出x與銷售額(單位:百萬元)之間有如下對應數據:
如果y與x之間具有線性相關關系.
(1)作出這些數據的散點圖;
(2)求這些數據的線性回歸方程;
(3)預測當廣告費支出為9百萬元時的銷售額.
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【題目】某高校在2014年的自主招生考試成績中隨機抽取100名學生的筆試成績,按成績分組,得到的頻率分布表如下表所示.
組號 | 分組 | 頻數 | 頻率 |
第1組 | [160,165) | 5 | 0.050 |
第2組 | [165,170) | n | 0.350 |
第3組 | [170,175) | 30 | p |
第4組 | [175,180) | 20 | 0.200 |
第5組 | [180,185] | 10 | 0.100 |
合計 | 100 | 1.000 |
(1)求頻率分布表中n,p的值,并補充完整相應的頻率分布直方圖;
(2)為了能選拔出最優(yōu)秀的學生,高校決定在筆試成績高的第3、4、5組中用分層抽樣的方法抽取6名學生進入第二輪面試,則第3、4、5組每組各抽取多少名學生進入第二輪面試?
(3)在(2)的前提下,學校決定從6名學生中隨機抽取2名學生接受甲考官的面試,求第4組至少有1名學生被甲考官面試的概率.
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【題目】設函數f(x)=3ax2+2bx+c,且有a+b+c=0,f(0)>0,f(1)>0.
(Ⅰ)求證:a>0,且﹣2< <﹣1;
(Ⅱ)求證:函數y=f(x)在區(qū)間(0,1)內有兩個不同的零點.
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