Question

如圖,四棱錐PABCD中,ABCD為矩形,平面PAD⊥平面ABCD.

(1)求證:AB⊥PD;

(2)若∠BPC=90°,PB=,PC=2,問AB為何值時,四棱錐PABCD的體積最大?并求此時平面BPC與平面DPC夾角的余弦值.

Answer 1

 (1)證明:ABCD為矩形,故AB⊥AD;

又平面PAD⊥平面ABCD,

平面PAD∩平面ABCD=AD,

所以AB⊥平面PAD,故AB⊥PD.

(2)解:過P作AD的垂線,垂足為O,過O作BC的垂線,垂足為G,

連接PG.

故PO⊥平面ABCD,BC⊥平面POG,BC⊥PG,

在Rt△BPC中,PG=,GC=,BG=.

設(shè)AB=m,

則OP==,

故四棱錐PABCD的體積為

V=··m·=.

因為m=

=,

故當m=,

即AB=時,四棱錐PABCD的體積最大.

此時,建立如圖所示的坐標系,各點的坐標為O(0,0,0),

B(,-,0),

C(,,0),D(0,,0),P(0,0,).

故=(,,-),

=(0,,0),=(-,0,0),

設(shè)平面BPC的一個法向量n₁=(x,y,1),

則由n₁⊥,n₁⊥得

解得x=1,y=0,n₁=(1,0,1).

同理可求出平面DPC的一個法向量n₂=(0,,1).

從而平面BPC與平面DPC夾角θ的余弦值為

cos θ=

=

=.