Question

5．已知函數(shù)f（x）=xa^x（a＞0且a≠1）有極大值$\frac{1}{2e}$，則a=$\frac{1}{{e}^{2}}$．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷l(xiāng)na＜0，求得增區(qū)間和減區(qū)間，得到極大值點(diǎn)和極大值，由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，計(jì)算即可得到a的值．

解答 解：函數(shù)f（x）=xa^x（a＞0且a≠1）的導(dǎo)數(shù)為
f′（x）=a^x+xa^xlna=a^x（1+xlna），
由于f（x）有極大值$\frac{1}{2e}$，則lna＜0，
當(dāng)x＜-$\frac{1}{lna}$時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增；
當(dāng)x＞-$\frac{1}{lna}$時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減．
即有x=-$\frac{1}{lna}$時(shí)，取得極大值，
且為-$\frac{1}{lna}$•${a}^{-\frac{1}{lna}}$=-$\frac{1}{lna}$•$\frac{1}{e}$=$\frac{1}{2e}$，
解得a=$\frac{1}{{e}^{2}}$．
故答案為：$\frac{1}{{e}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和極值，考查運(yùn)算能力，正確求導(dǎo)和判斷極值是解題的關(guān)鍵．