Question

13．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l過(guò)點(diǎn)P（-1，-2），且方向向量為（1，$\sqrt{3}$）．在以點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cos（θ-$\frac{π}{3}$）．
（1）求直線l的參數(shù)方程；
（2）若直線l與圓C相交于M、N兩點(diǎn)，求$\frac{1}{|PM|}$+$\frac{1}{|PN|}$的值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出直線的傾斜角，求出直線的參數(shù)方程即可；
（2）根據(jù)x=ρcosθ，y=ρsinθ求出圓的普通方程，代入直線的參數(shù)方程求出$\frac{1}{|PM|}$+$\frac{1}{|PN|}$的值即可．

解答 解：（1）設(shè)直線l的傾斜角是α，
∵直線l的方向向量為（1，$\sqrt{3}$），故tanα=$\sqrt{3}$，
∵α∈[0，π），故直線l的傾斜角是$\frac{π}{3}$，
故直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+tcos\frac{π}{3}}\\{y=-2+tsin\frac{π}{3}}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
即$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+\frac{1}{2}t}\\{y=-2+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$；
（2）∵ρ=2cos（θ-$\frac{π}{3}$）=cosθ+$\sqrt{3}$sinθ，
故ρ²=ρcosθ+$\sqrt{3}$ρsinθ，
故圓的普通方程是x²+y²-x-$\sqrt{3}$y=0，
將直線l的參數(shù)方程代入，整理得t²-（3+2$\sqrt{3}$）t+6+2$\sqrt{3}$=0，
設(shè)方程的兩根為t₁，t₂，則t₁+t₂=3+2$\sqrt{3}$，t₁t₂=6+2$\sqrt{3}$，可見(jiàn)t₁，t₂均為正數(shù)，
∴$\frac{1}{|PM|}$+$\frac{1}{|PN|}$=$\frac{|PM|+|PN|}{|PM|•|PN|}$=$\frac{{t}_{1}{+t}_{2}}{{t}_{1}{•t}_{2}}$=$\frac{3+2\sqrt{3}}{6+2\sqrt{3}}$=$\frac{1+\sqrt{3}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程以及普通方程和極坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，考查參數(shù)方程的應(yīng)用，是一道中檔題．