Question

3．已知點(diǎn)A（1，$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$）是離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）上的一點(diǎn)，斜率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$的直線BD交橢圓C于B，D兩點(diǎn)，且A，B，D三點(diǎn)不重合．
（1）求橢圓C的方程；
（2）△ABD的面積是否存在最大值，若存在，求出這個(gè)最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)點(diǎn)點(diǎn)A（1，$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$）是離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$的橢圓C上的一點(diǎn)，建立方程，即可求橢圓C的方程；
（2）直線方程代入橢圓方程，計(jì)算出三角形的面積的表達(dá)式，利用二次函數(shù)的最值，可得結(jié)論．

解答 解：（1）∵橢圓的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，…①
點(diǎn)A（1，$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$）是橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）上的一點(diǎn)，$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{2^{2}}=1$，…②，
a²=b²+c²…③，解①②③，
∴a=$\sqrt{2}$，b=1，c=1，
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1．…（5分）
（2）設(shè)直線BD的方程為y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+m，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{2}}{2}x+m}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，消去y可得：2x²+2$\sqrt{2}$mx+2m²-2=0，
∴x₁+x₂=-$\sqrt{2}$m，x₁x₂=m²-1，
由△=8m²-16（m²-1）=-8m²+16＞0，可得-$\sqrt{2}$＜m＜$\sqrt{2}$，
∴|BD|=$\sqrt{1+（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}$|x₁-x₂|=$\frac{\sqrt{6}}{2}$$\sqrt{2{m}^{2}-4{m}^{2}+4}$=$\sqrt{3}$•$\sqrt{2-{m}^{2}}$，
設(shè)d為點(diǎn)A（1，$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$）到直線BD：y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+m的距離，∴d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+\frac{1}{2}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}|m|$，
∴S△ABD=$\frac{1}{2}$|BD|d=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}\sqrt{2-{m}^{2}}×\frac{\sqrt{6}}{3}|m|$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$$\sqrt{2{m}^{2}-{m}^{4}}$，
當(dāng)且僅當(dāng)m=±1∈（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）時(shí)，△ABD的面積最大，最大值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查橢圓的方程的求法，考查弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用和二次函數(shù)求最值的方法，考查思維能力、運(yùn)算能力和綜合解題的能力．