Question

8．已知函數(shù)f（x）=lnx+$\frac{a}{x}$
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性
（Ⅱ）當(dāng)x∈（1，+∞）時，f（x）$＜\frac{x}{2}$恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅱ）問題轉(zhuǎn)化為a＜$\frac{{x}^{2}}{2}$-xlnx在（1，+∞）恒成立，令g（x）=$\frac{{x}^{2}}{2}$-xlnx，（x＞1），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）∵定義域?yàn)椋?，+∞）
∴f′（x）=-$\frac{a}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$=$\frac{x-a}{{x}^{2}}$，
①當(dāng)a≤0，f′（x）≥0，恒成立，
∴f（x）在定義域（0，+∞）單調(diào)遞增；
②當(dāng)a＞0，當(dāng)x＞a時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)0＜x＜a，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間：（a，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間：（0，a）；
（Ⅱ）x∈（1，+∞）時，f（x）$＜\frac{x}{2}$恒成立，
即a＜$\frac{{x}^{2}}{2}$-xlnx在（1，+∞）恒成立，
令g（x）=$\frac{{x}^{2}}{2}$-xlnx，（x＞1），
則g′（x）=x-lnx-1，g″（x）=1-$\frac{1}{x}$＞0，
故g′（x）遞增，g′（x）＞g（1）=0，
故g（x）在（1，+∞）遞增，
故g（x）＞g（1）=$\frac{1}{2}$，
故a≤$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想，是一道中檔題．