Question

10．如圖1，ABCD為長(zhǎng)方形，AB=3，AD=$\sqrt{2}$，E，F(xiàn)分別是邊AB，CD上的點(diǎn)，且AE=CF=1，DE與AF相交于點(diǎn)G，將三角形ADF沿AF折起至ADF'，使得D'E=1，如圖2．
（1）求證：平面D'EG⊥ABCF平面；
（2）求三棱錐D'-BEG的體積．

Answer 1

分析 （1）在矩形中由已知可得，△ADF∽△EAD，則∠DAF=∠AED，得到AF⊥DE，在圖2中可得AF⊥D′G，AF⊥GE，再由線面垂直的判定可得AF⊥平面D′GE，進(jìn)一步得到平面D'EG⊥ABCF平面；
（2）由（1）可得D′E⊥平面ABCF，把三棱錐D'-BEG的體積轉(zhuǎn)化為2倍D'-AEG的體積求解．

解答 （1）證明：在圖1的直角三角形ADF和直角三角形EAD中，
∵$\frac{DF}{AD}=\frac{AD}{AE}$=$\sqrt{2}$，∴△ADF∽△EAD，則∠DAF=∠AED，
∵∠DAF+∠EAF=90°，∴∠AED+∠EAF=90°，則AF⊥DE；
在圖2中，∴AF⊥D′G，AF⊥GE，
∵D′G∩GE=G，∴AF⊥平面D′GE，
∵AF?平面ABCF，∴平面D'EG⊥ABCF平面；
（2）解：∵$AD′=\sqrt{2}$，AE=1，D′E=1，
∴D′E⊥AE，
由（1）可知，AF⊥平面D′EG，∴AF⊥D′E，
∵AE∩AF=A，∴D′E⊥平面ABCF，
又EG=$\frac{1}{3}$ED=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴AG=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴${S}_{△AEG}=\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{3}×\frac{\sqrt{6}}{3}=\frac{\sqrt{2}}{6}$，
∴V_D′-BEG=2V_D′-AEG=$\frac{\sqrt{2}}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面與平面垂直的判定，考查空間想象能力和思維能力，訓(xùn)練了利用等積法求多面體的體積，關(guān)鍵是注意折疊問(wèn)題折疊前后的變量與不變量，是中檔題．