Question

5．已知函數(shù)f（x）=a（x-1）-lnx（a為實數(shù)），g（x）=x-1，h（x）=$\left\{\begin{array}{l}g（x），f（x）＜g（x）\\ f（x），f（x）≥g（x）\end{array}$．
（1）當(dāng)a=1時，求函數(shù)f（x）=a（x-1）-lnx在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）若h（x）=f（x），求實數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，確定切線的斜率，切點的坐標(biāo)，即可求出切線方程；
（2）求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）G（x）=f（x）-g（x）=（a-1）（x-1）-lnx，若h（x）=f（x），x＞0，G（x）≥0成立x＞0，G（x）≥0成立，即可求實數(shù)a的值．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時，f（x）=x-1-lnx，f（1）=0，f′（x）=1-$\frac{1}{x}$，∴f′（1）=0，
∴函數(shù)f（x）=a（x-1）-lnx在點（1，f（1））處的切線方程為y=0；
（2）f′（x）=a-$\frac{1}{x}$（x＞0），
a≤0，f′（x）＜0，函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞減；
a＞0，由f′（x）＞0，解得x＞$\frac{1}{a}$，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（$\frac{1}{a}$，+∞），
f′（x）＜0，0＜x＜$\frac{1}{a}$，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，$\frac{1}{a}$）；
（3）令G（x）=f（x）-g（x）=（a-1）（x-1）-lnx，定義域（0，+∞），G（1）=0．
∵h（x）=f（x），∴x＞0，G（x）≥0成立；
a≤1，G′（x）=a-1-$\frac{1}{x}$＜0，G（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，
∴G（2）＜G（1）=0，此時題設(shè)不成立；
a＞1時，G（x）在（0，$\frac{1}{a-1}$）上單調(diào)遞減，（$\frac{1}{a-1}，+∞$）上單調(diào)遞增，
∴G（x）_min=2-a+ln（a-1），
∴2-a+ln（a-1）≥0恒成立，
令t=a-1，t＞0，則1-t+lnt≥0恒成立，
令H（t）=1-t+lnt（t＞0），則H（1）=0，H′（t）=$\frac{1-t}{t}$，
∴H（t）在（0，1）上單調(diào)遞增，（1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴H（t）_max=H（1）=0，
∴H（t）≤0（t=1時取等號），
t＞0時，1-t+lnt=0的解為t=1，即a=2．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查求切線方程和函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查函數(shù)的最值，正確求導(dǎo)，合理分類是關(guān)鍵．