Question

5．已知函數(shù)f（x）=x²+kx的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為3x-y+b=0，數(shù)列{$\frac{1}{f（n）}$}的前n項(xiàng)和為S_n，則S₂₀₁₅=$\frac{2015}{2016}$．

Answer 1

分析 對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求切線在x=1處的斜率，然后根據(jù)已知切線方程，可求k，代入可求f（n），利用裂項(xiàng)求和即可求．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=x²+kx，
∴f′（x）=2x+k，
∴y=f（x）的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率k=f′（1）=2+k，
∵切線方程為3x-y+b=0，∴2+k=3，
∴k=1，f（x）=x²+x，
∴f（n）=n²+n=n（n+1），
∴$\frac{1}{f（n）}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴S₂₀₁₅=$\frac{1}{f（1）}$+$\frac{1}{f（2）}$+…+$\frac{1}{f（2015）}$=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2015}$-$\frac{1}{2016}$=1-$\frac{1}{2016}$=$\frac{2015}{2016}$．
故答案為：$\frac{2015}{2016}$．

點(diǎn)評(píng) 本題以函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義為載體，主要考查了切線斜率的求解，及裂項(xiàng)求和方法的應(yīng)用，屬于中檔題．