Question

20．已知函數(shù)f（x）=|x|+$\frac{m}{x}$-1（x≠0）
（1）當(dāng)m=1時(shí)，判斷f（x）在（-∞，0）的單調(diào)性，并用定義證明；
（2）若對(duì)任意x∈（1，+∞），不等式 f（log₂x）＞0恒成立，求m的取值范圍．
（3）討論f（x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 （1）f（x）在（-∞，0）上為減函數(shù)．運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性的定義加以證明，注意取值、作差、變形和定符號(hào)、下結(jié)論幾個(gè)步驟；
（2）利用不等式恒成立，進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可，
（3）利用函數(shù)與方程的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用參數(shù)分離法結(jié)合數(shù)形結(jié)合進(jìn)行討論即可．

解答 解：（1）由當(dāng)m=1，且x＜0時(shí)，f（x）=-x+$\frac{1}{x}$-1是單調(diào)遞減的．
證明：設(shè)x₁＜x₂＜0，則
f（x₁）-f（x₂）=-x₁+$\frac{1}{{x}_{1}}$-1-（-x₂+$\frac{1}{{x}_{2}}$-1）=x₂-x₁+$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$
=（x₂-x₁）-$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=（x₂-x₁）（1+$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$），
∵x₁＜x₂＜0，則x₂-x₁＞0，x₁x₂＞0，則有f（x₁）-f（x₂）＞0，
f（x₁）＞f（x₂）
則f（x））在（-∞，0）上為減函數(shù)； 
（2）由 f（log₂x）＞0得|log₂x|+$\frac{m}{lo{g}_{2}x}$-1＞0，
當(dāng)x∈（1，+∞），log₂x＞0，
則不等式變形為（log₂x）²-log₂x+m＞0，
即m＞-（log₂x）²+log₂x，
而g（x）=-（log₂x）²+log₂x=-（log₂x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$，
當(dāng)log₂x=$\frac{1}{2}$，即x=$\sqrt{2}$時(shí)，g（x）取得最大值$\frac{1}{4}$，--------7分
∴m＞$\frac{1}{4}$．
（3）由f（x）=0可得x|x|-x+m=0，變?yōu)閙=-x|x|+x，x≠0
令h（x）=x-x|x|=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+x，}&{x＞0}\\{{x}^{2}+x，}&{x＜0}\end{array}\right.$-----9分
作出函數(shù)h（x）的圖象及直線y=m，由圖象可得：
當(dāng)m＞$\frac{1}{4}$或m＜-$\frac{1}{4}$時(shí)，f（x）有1個(gè)零點(diǎn)．-----10分
當(dāng)m=$\frac{1}{4}$或m=0或m=-$\frac{1}{4}$時(shí)，f（x）有2個(gè)零點(diǎn)；-----11分
當(dāng)0＜m＜$\frac{1}{4}$或-$\frac{1}{4}$＜m＜0時(shí)，f（x）有3個(gè)零點(diǎn)．-------12分．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式恒成立以及函數(shù)的單調(diào)性的判斷以及證明，考查函數(shù)的零點(diǎn)的判斷，考查分類討論的思想方法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．