Question

11．已知函數(shù)f（x）=2sinxcos（x+$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}$cos²x+$\frac{1}{2}$sin2x．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）由三角函數(shù)公式化簡可得f（x）=2si$n（2x+\frac{π}{3}）$，由周期公式可得；
（2）解2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答 解：（1）由三角函數(shù)公式化簡可得：
f（x）=2sinxco$s（x+\frac{π}{3}）$+$\sqrt{3}cos$²x+$\frac{1}{2}sin$2x
=2sin$x（cosxcos\frac{π}{3}-sinxsin\frac{π}{3}）$+$\sqrt{3}cos$²x+$\frac{1}{2}sin$2x
=sinxcosx-$\sqrt{3}sin$²x+$\sqrt{3}cos$²x+$\frac{1}{2}sin$2x
=sin2x+$\sqrt{3}cos$ 2x=2si$n（2x+\frac{π}{3}）$，
∴f（x）的最小正周期為T=$\frac{2π}{2}$=π；
（2）令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
∴解得x∈$[kπ-\frac{5π}{12}，kπ+\frac{π}{12}]$（k∈Z），
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為$[kπ-\frac{5π}{12}，kπ+\frac{π}{12}]$（k∈Z）．

點(diǎn)評 本題考查三角函數(shù)恒等變換，涉及三角函數(shù)的周期性和單調(diào)性，屬基礎(chǔ)題．