Question

10．拋物線y²=2px（p＞0）的焦點為F，過原點O作直線l：y=kx，與拋物線的另一交點為點A，過A作l的垂線交x軸于點B，則下列命題中正確的是（　�。�

• A． 存在無數(shù)個實數(shù)k使得點F為線段OB的中點
• B． 存在唯一的實數(shù)k使得點F為線段OB的中點
• C． 不存在實數(shù)k使得點F為線段OB的中點
• D． 以上命題都不正確

Answer 1

分析 假設(shè)存在實數(shù)k使得點F為線段OB的中點，則B（p，0），AB的方程y=-$\frac{1}{k}$（x-p），與y=kx聯(lián)立，可得交點坐標，代入y²=2px，驗證即可，

解答 解：假設(shè)存在實數(shù)k使得點F為線段OB的中點，則B（p，0），AB的方程y=-$\frac{1}{k}$（x-p），
與y=kx聯(lián)立，可得交點坐標（$\frac{p}{{k}^{2}+1}$，$\frac{pk}{{k}^{2}+1}$），
代入y²=2px，可得（$\frac{pk}{{k}^{2}+1}$）²=2p•$\frac{p}{{k}^{2}+1}$，
∴k²+2=0，方程無解，
∴不存在實數(shù)k使得點F為線段OB的中點．
故選：C．

點評 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．