Question

某校的學(xué)生記者團(tuán)由理科組和文科組構(gòu)成，具體數(shù)據(jù)如下表所示：

組別	理科		文科
性別	男生	女生	男生	女生
人數(shù)	4	4	3	1

學(xué)校準(zhǔn)備從中選出4人到社區(qū)舉行的大型公益活動進(jìn)行采訪，每選出一名男生，給其所在小組記1分，每選出一名女生則給其所在小組記2分，若要求被選出的4人中理科組、文科組的學(xué)生都有．
（Ⅰ）求理科組恰好記4分的概率？
（Ⅱ）設(shè)文科男生被選出的人數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

考點：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,離散型隨機(jī)變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（I）要求被選出的4人中理科組、文科組的學(xué)生都有共有：

∁

1 8

∁

3 4

+

∁

2 8

∁

2 4

+

∁

3 8

∁

1 4

．其中“理科組恰好記4分”的選法有兩種情況：從理科組中選取2男1女，再從文科組中任選1人，可有

∁

2 4

∁

1 4

∁

1 4

方法；另一種是從理科組中選取2女，再從文科組中任選2人，可有

∁

2 4

∁

2 4

方法．根據(jù)互斥事件的概率計算公式與古典概型的概率計算公式即可得出．
（II）由題意可得ξ=0，1，2，3．P（ξ=0）=

∁ 1 1 ∁ 3 8

424

=

56

424

，P（ξ=1）=

∁ 1 3 ∁ 3 9

424

=

252

424

，P（ξ=2）=

∁ 2 3 ∁ 2 9

424

=

108

424

，P（ξ=4）=

∁ 3 3 ∁ 1 8

424

=

8

424

，即可得出分布列與數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（I）要求被選出的4人中理科組、文科組的學(xué)生都有共有：

∁

1 8

∁

3 4

+

∁

2 8

∁

2 4

+

∁

3 8

∁

1 4

=424．
其中“理科組恰好記4分”的選法有兩種情況：從理科組中選取2男1女，再從文科組中任選1人，可有

∁

2 4

∁

1 4

∁

1 4

方法；另一種是從理科組中選取2女，再從文科組中任選2人，可有

∁

2 4

∁

2 4

方法．
∴P=

96+36

424

=

33

106

．
（II）由題意可得ξ=0，1，2，3．P（ξ=0）=

∁ 1 1 ∁ 3 8

424

=

56

424

，P（ξ=1）=

∁ 1 3 ∁ 3 9

424

=

252

424

，P（ξ=2）=

∁ 2 3 ∁ 2 9

424

=

108

424

，P（ξ=4）=

∁ 3 3 ∁ 1 8

424

=

8

424

，
由題意可得ξ=0，1，2，3．其分布列為：

ξ	0	1	2	3
P（ξ）	56 424	252 424	108 424	8 424

ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ=0×

56

424

+1×

252

424

+2×

108

424

+3×

8

424

=

123

106

．

點評：本題考查了互斥事件的概率計算公式與古典概型的概率計算公式、隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．