Question

某公司全年的利潤(rùn)為b元，其中一部分作為獎(jiǎng)金發(fā)給n位職工，獎(jiǎng)金分配方案如下:首先將職工按工作業(yè)績(jī)(工作業(yè)績(jī)均不相同)從大到小，由1到n排序，第1位職工得獎(jiǎng)金元，然后再將余額除以n發(fā)給第2位職工，按此方法將獎(jiǎng)金逐一發(fā)給每位職工，并將最后剩余部分作為公司發(fā)展基金.
(1)設(shè)a_k(1≤k≤n)為第k位職工所得獎(jiǎng)金金額，試求a₂,a₃，并用k、n和b表示a_k(不必證明)；
(2)證明a_k＞a_k+1(k=1,2,…,n－1),并解釋此不等式關(guān)于分配原則的實(shí)際意義；
(3)發(fā)展基金與n和b有關(guān)，記為P_n(b),對(duì)常數(shù)b，當(dāng)n變化時(shí)，求P_n(b).

Answer 1

(1) a_k= (1－)^k－1b; (2) 獎(jiǎng)金分配方案體現(xiàn)了“按勞分配”或“不吃大鍋飯”的原則；(3).

(1)第1位職工的獎(jiǎng)金a₁=，
第2位職工的獎(jiǎng)金a₂=(1－)b，
第3位職工的獎(jiǎng)金a₃=(1－)²b，…，
第k位職工的獎(jiǎng)金a_k= (1－)^k－1b;
(2)a_k－a_k+1=(1－)^k－1b＞0，此獎(jiǎng)金分配方案體現(xiàn)了“按勞分配”或“不吃大鍋飯”的原則。
(3)設(shè)f_k(b)表示獎(jiǎng)金發(fā)給第k位職工后所剩余數(shù)，
則f₁(b)=(1－)b,f₂(b)=(1－)²b,…,f_k(b)=(1－)^kb.
得P_n(b)=f_n(b)=(1－)ⁿb,
故.