Question

15．如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E，F(xiàn)分別是PC，PD的中點(diǎn)，AD=AB=1．
（1）若點(diǎn)G為線(xiàn)段BC的中點(diǎn)，證明：平面EFG∥平面PAB；
（2）在（1）的條件下，求以△EFG為底面的三棱錐C-EFG的高．

Answer 1

分析 （1）由E、F分別是PC、PD的中點(diǎn)，可由三角形中位線(xiàn)定理得到EF∥CD，進(jìn)而根據(jù)底面是矩形，對(duì)邊平行得到EF∥AB，結(jié)合線(xiàn)面平行的判定定理得到EF∥平面PAB；同理EG∥平面PAB，即可證明：平面EFG∥平面PAB；
（2）證明BC⊥平面PAB，C到平面PAB的距離為BC，即可求以△EFG為底面的三棱錐C-EFG的高．

解答 （1）證明：∵E、F分別是PC、PD的中點(diǎn)，
∴EF∥CD．                    
∵底面ABCD是矩形，
∴CD∥AB．
∴EF∥AB．                  
又AB?平面PAB，EF?平面PAB，
∴EF∥平面PAB．
同理EG∥平面PAB．
∵EF∩EG=E，
∴平面EFG∥平面PAB；
（2）解：∵PA⊥底面ABCD，BC?底面ABCD，
∴PA⊥BC，
∵BC⊥AB，PA∩AB=A，
∴BC⊥平面PAB，
∴C到平面PAB的距離為BC=1
∴以△EFG為底面的三棱錐C-EFG的高為$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平面與平面平行的判定，考查線(xiàn)面垂直，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．