Question

6．已知點P（x，y）在圓x²+y²-6x-6y+14=0上．
（1）求$\frac{y}{x}$的最大值和最小值；
（2）求x²+y²+2x+3的最大值與最小值．

Answer 1

分析 （1）求得已知圓的圓心和半徑，設(shè)k=$\frac{y}{x}$，即kx-y=0，則圓心到直線的距離d≤r，加上即可得到最值；
（2）x²+y²+2x+3=（x+1）²+y²+2表示點（x，y）與A（-1，0）的距離的平方加上2，連接AC，交圓C于B，延長AC，交圓于D，可得AB最短，AD最長，加上即可得到所求最值．

解答 解：（1）圓x²+y²-6x-6y+14=0即為（x-3）²+（y-3）²=4，
可得圓心為C（3，3），半徑為r=2，
設(shè)k=$\frac{y}{x}$，即kx-y=0，
則圓心到直線的距離d≤r，
即$\frac{|3k-3|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$≤2，
平方得5k²-18k+5≤0，
解得$\frac{9-2\sqrt{14}}{5}$≤k≤$\frac{9+2\sqrt{14}}{5}$，
故$\frac{y}{x}$的最大值是$\frac{9+2\sqrt{14}}{5}$，最小值為$\frac{9-2\sqrt{14}}{5}$；
（2）x²+y²+2x+3=（x+1）²+y²+2
表示點（x，y）與A（-1，0）的距離的平方加上2，
連接AC，交圓C于B，延長AC，交圓于D，
可得AB為最短，且為|AC|-r=$\sqrt{16+9}$-2=3，
AD為最長，且為|AC|+r=5+2=7，
則x²+y²+2x+3 的最大值為7²+2=51，
x²+y²+2x+3的最小值為3²+2=11．

點評 本題主要考查直線和圓的方程的應(yīng)用，根據(jù)圓心到直線的距離和半徑之間的關(guān)系以及連接圓外一點與圓心的直線與圓的交點，取得最值是解決本題的關(guān)鍵．