Question

10．已知α，β是方程2x²+2ax+b=0的兩根，且α∈[0，1]，β∈[1，2]，a，b∈R，則$\frac{{5{a^2}+4ab+{b^2}}}{{2{a^2}+ab}}$的范圍[2，$\frac{5}{2}$]．

Answer 1

分析 化簡可得$\frac{2a+b}{a}$+$\frac{a}{2a+b}$，從而化為判斷函數(shù)y=x+$\frac{1}{x}$的單調(diào)性，再確定$\frac{2a+b}{a}$的取值范圍，由題意知$\left\{\begin{array}{l}{b≥0}\\{2+2a+b≤0}\\{8+4a+b≥0}\end{array}\right.$，從而利用線性規(guī)劃確定$\frac{2a+b}{a}$∈[$\frac{2}{3}$，2]，從而解得．

解答 解：∵$\frac{{5{a^2}+4ab+{b^2}}}{{2{a^2}+ab}}$=$\frac{（2a+b）^{2}+{a}^{2}}{a（2a+b）}$
=$\frac{2a+b}{a}$+$\frac{a}{2a+b}$，
∵α，β是方程2x²+2ax+b=0的兩根，且α∈[0，1]，β∈[1，2]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b≥0}\\{2+2a+b≤0}\\{8+4a+b≥0}\end{array}\right.$，
作平面區(qū)域如下，
，
$\frac{y}{x}$的幾何意義是點（x，y）與點（0，0）的連線的斜率，
結(jié)合圖象可知，-$\frac{4}{3}$≤$\frac{y}{x}$≤0，
故-$\frac{4}{3}$≤$\frac{a}$≤0，
故$\frac{2a+b}{a}$∈[$\frac{2}{3}$，2]，
而y=x+$\frac{1}{x}$在[$\frac{2}{3}$，1）上單調(diào)遞減，在[1，2]上單調(diào)遞增；
且$\frac{2}{3}$+$\frac{3}{2}$=$\frac{13}{6}$，1+1=2，2+$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$；
故$\frac{2a+b}{a}$+$\frac{a}{2a+b}$∈[2，$\frac{5}{2}$]；
故答案為：[2，$\frac{5}{2}$]．

點評 本題考查了學(xué)生的化簡運算能力與線性規(guī)劃的應(yīng)用，同時考查了對勾函數(shù)的應(yīng)用及數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用．