Question

在直三棱柱（側(cè)棱垂直底面）ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=1，∠BAC=90°，且異面直線A₁B與B₁C₁所成的角等于60°．
（1）證明△A₁BC為等邊三角形；
（2）求棱柱的高．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，∠A₁BC是異面直線A₁B與B₁C₁所成的角或所成角的補(bǔ)角，由此能證明△A₁BC為等邊三角形．
（2）由（1）知△A₁BC為等邊三角形，在Rt△A₁AB中，由

1-AA12

•A1B=

2

，能求出棱柱的高為1．

解答： （1）證明：由三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，
得AA₁是三棱柱的高，
∵BC∥B₁C₁，
∴∠A₁BC是異面直線A₁B與B₁C₁所成的角或所成角的補(bǔ)角，
連結(jié)A₁C，
∵AB=AC，∴A₁B=A₁C=

1+AA12

，
在Rt△ABC中，由AB=AC=1，∠BAC=90°，得BC=

2

，
又異面直線A₁B與B₁C₁所成的角為60°，∴∠A₁BC=60°，
∴△A₁BC為等邊三角形．
（2）解：由（1）知△A₁BC為等邊三角形，
A1B•B1C1=

2

，
∴在Rt△A₁AB中，
由

1-AA12

•A1B=

2

，
解得AA₁=1，棱柱的高為1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等邊三角形的證明，考查棱柱的高的注法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．